Kết luận nào sau đây đúng về ngh...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Biến đổi tương đương phương trình (1) để đưa về dạng phương trình tích.

+) Sau đó, thế vào phương trình (2)

Giải chi tiết:

ĐK: \(y\le 2\le x\)

Từ phương trình (1) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 3} \right) = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2\\ \Leftrightarrow {x^3} + {x^2}y + x{y^2} + 3x - {x^2}y - x{y^2} - {y^3} - 3y = 3{x^2} + 3{y^2} + 2\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3x - {y^3} - 3y = 3{x^2} + 3{y^2} + 2\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {y^3} + 3{y^2} + 3y + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = {\left( {y + 1} \right)^3}\\ \Leftrightarrow x - 1 = y + 1\\ \Leftrightarrow y = x - 2\end{array}\)

Với \(y=x-2\) thay vào phương trình (2) ta có \(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}={{x}^{2}}-6x+11\)

Điều kiện \(2\le x\le 4\).

Ta có VP = \({{x}^{2}}-6x+11={{\left( x-3 \right)}^{2}}+2\ge 2\)(*)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki cho hai bộ số \(\left( 1;1 \right),\left( \sqrt{x-2},\sqrt{4-x} \right)\) ta có:

\({{\left( 1.\sqrt{x-2}+1.\sqrt{4-x} \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left[ {{\left( \sqrt{x-2} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{4-x} \right)}^{2}} \right]=4\Leftrightarrow \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le 2\,\,\,\,\left( ** \right)\)

Từ (*) và (**) ta có dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

\(\frac{{\sqrt {x - 2} }}{1} = \frac{{\sqrt {4 - x} }}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le x \le 4\\\sqrt {x - 2}  = \sqrt {4 - x} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le x \le 4\\x - 2 = 4 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow y = 1\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( x;y \right)\) là \(\left( 3;1 \right)\)

Chọn B.