Tìm tâm sai của hypebol biết góc hợp bởi tiệm cận...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hyberbol \(\left( H \right):\,\,{{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\) có các đường tiệm cận \(y =  \pm {b \over a}x \Rightarrow \) góc tạo bởi đường tiệm cận và trục Ox có tan bằng \({b \over a}\).

Sử dụng công thức \({a^2} + {b^2} = {c^2}\).

Hyberbol \(\left( H \right):\,\,{{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\) có tâm sai \(e = {c \over a}.\)

Giải chi tiết:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là: \({{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1,\,\,(a,\,b > 0)\)

Phương trình 2 đường tiệm cận của (H) là: \(y =  \pm {b \over a}x\).

Vì góc hợp bởi tiệm cận và Ox bằng \({30^0} \Rightarrow {b \over a} = \tan {30^0} \Leftrightarrow {b \over a} = {1 \over {\sqrt 3 }} \Leftrightarrow {{{b^2}} \over {{a^2}}} = {1 \over 3} \Leftrightarrow {b^2} = {1 \over 3}{a^2}\).

Mà \({a^2} + {b^2} = {c^2} \Rightarrow {a^2} + {1 \over 3}{a^2} = {c^2} \Leftrightarrow {4 \over 3}{a^2} = {c^2} \Leftrightarrow {{{c^2}} \over {{a^2}}} = {4 \over 3} \Leftrightarrow {c \over a} = {2 \over {\sqrt 3 }} \Leftrightarrow e = {2 \over {\sqrt 3 }}\).

Chọn: C