a) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

+) Đặt điều kiện và giải hệ phương trình.

Giải chi tiết:

a)               Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

         \(\begin{array}{l}\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1 \Rightarrow a = b = c\\ \Rightarrow P = \frac{{4a + 6a + 2017a}}{{4a - 6a + 2017a}} = \frac{{2027}}{{2015}}.\end{array}\)

b)     \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2y = xy + 4\\{x^2} - x + 3 - x\sqrt {6 - x}  = \left( {y - 3} \right)\sqrt {y - 3} \end{array} \right.\left( {x,\;y \in R} \right).\)

Điều kiện:

                                 \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\y \ge 3\end{array} \right..\)

Phương trình đầu tiên tương đương với:

                 \(\begin{array}{l}{x^2} - 4 - y(x - 2) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) - y\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow (x - 2)(x + 2 - y) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\;\;\;\left( {tm} \right)\\y = x + 2\end{array} \right..\end{array}\)

TH1: Với \(x = 2.\)  Thay vào phương trình còn lại ta được:

   \(\begin{array}{l}4 - 2 + 3 - 2\sqrt {6 - 2}  = \left( {y - 3} \right)\sqrt {y - 3} \\ \Leftrightarrow 1 = {\left( {\sqrt {y - 3} } \right)^3}\\ \Leftrightarrow 1 = y - 3\\ \Leftrightarrow y = 4\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

TH2: Với \(y = x + 2.\) Thay vào phương trình còn lại ta có:

    \(\begin{array}{l}{x^2} - x + 3 - x\sqrt {6 - x}  = (x + 2 - 3)\sqrt {x + 2 - 3} \\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 3 = \left( {x - 1} \right)\sqrt {x - 1}  + x\sqrt {6 - x} \end{array}\)

Áp dụng phương pháp đánh giá và bất đẳng thức Cô-si quen thuộc ta có

\(VP = (x - 1)\sqrt {x - 1}  + x\sqrt {6 - x}  \le \frac{{{{(x - 1)}^2} + x - 1}}{2} + \frac{{{x^2} + 6 - x}}{2} = {x^2} - x + 3 = VT\)

Từ đây dấu bằng phải xảy ra tức là:

          \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = \sqrt {x - 1} \\x = \sqrt {6 - x} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} \left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right) = 0\\x \ge 0\\{x^2} = 6 - x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\\sqrt {x - 1}  = 1\end{array} \right.\\x \ge 0\\{x^2} + x - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x - 1 = 1\end{array} \right.\\x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\\x \ge 0\\x = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 2\;\;\left( {tm} \right)\;\; \Rightarrow y = x + 2 = 2 + 2 = 4\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)  

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là: \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {2;\;4} \right).\)

Chọn C