Cho n số nguyên dương, \(n\ge 5.\)   Xét một đa gi...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

1) Kí hiệu đa giác 2018 cạnh là \({{A}_{1}}{{A}_{2}}....{{A}_{2018}}\).

Kẻ các đường chéo \({{A}_{1}}{{A}_{5}};{{A}_{1}}{{A}_{8}};...{{A}_{1}}{{A}_{2015}}\).

Khi đó đa giác này được chia thành 672 ngũ giác lồi như sau:

\(\begin{align} & {{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{A}_{4}}{{A}_{5}} \\& {{A}_{1}}{{A}_{5}}{{A}_{6}}{{A}_{7}}{{A}_{8}} \\& ..... \\& .... \\& {{A}_{1}}{{A}_{2012}}{{A}_{2013}}{{A}_{2014}}{{A}_{2015}} \\& {{A}_{1}}{{A}_{2015}}{{A}_{2016}}{{A}_{2017}}{{A}_{2018}} \\\end{align}\)

2) Giả sử có thể chia đa giác lồi 2017 cạnh thành 672 ngũ giác lồi bởi các đường chéo của nó. Gọi p là số giao điểm của các đường chéo nằm trong đa giác.

Do mỗi đỉnh của ngũ giác là 1 đỉnh của đa giác đã cho hoặc là 1 trong p điểm trên nên tổng số góc của các ngũ giác này là: \(p{{.360}^{0}}+(2017-2){{.180}^{0}}=(2p+2015){{.180}^{0}}\)

Mặt khác số ngũ giác là 672, mỗi ngũ giác có số góc ở các đỉnh là \({{3.180}^{0}}\) nên tổng số góc của ngũ giác là: \({{672.3.180}^{0}}\)

Từ đó suy ra: \(2p+2015=672.3\Rightarrow p=\frac{1}{2}.\)  (vô lý)

Do đó không thể thực hiện được với \(n=2017,\ \ k=672.\) .