Tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân ba: \(\cos 3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x\)

Tách thành hai tích phân, đặt \(t = \sin x\)

Giải chi tiết:

\(\eqalign{  & I = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos 3x} \over {\sin x + 1}}dx}  = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{4{{\cos }^3}x - 3\cos x} \over {\sin x + 1}}dx}  = 4\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{{{\cos }^3}x} \over {\sin x + 1}}dx}  - 3\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos x} \over {\sin x + 1}}dx}   \cr   &  = 4\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\cos x} \over {\sin x + 1}}dx}  - 3\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos x} \over {\sin x + 1}}dx}  = 4{I_1} - 3{I_2} \cr} \)

Đặt \(t = \sin x \Leftrightarrow dt = \cos xdx\), đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 0 \Rightarrow t = 0 \hfill \cr   x = {\pi  \over 2} \Rightarrow t = 1 \hfill \cr}  \right.\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow {I_1} = \int\limits_0^1 {{{1 - {t^2}} \over {t + 1}}dt}  = \int\limits_0^1 {\left( { - t + 1} \right)dt}  = \left. {\left( { - {{{t^2}} \over 2} + t} \right)} \right|_0^1 = {1 \over 2}  \cr   & {I_2} = \int\limits_0^1 {{{dt} \over {t + 1}}}  = \left. {\ln \left| {t + 1} \right|} \right|_0^1 = \ln 2  \cr   &  \Rightarrow I = 2 - 3\ln 2 \Rightarrow \left\{ \matrix{  a = 2 \hfill \cr   b =  - 3 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow P = {a^2} + 2{b^2} = 22 \cr} \)

Chọn C.