Có bao nhiêu giá trị dương của n thỏa mãn...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Phương pháp:

Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp: \(A_{n}^{k}=\frac{n!}{\left( n-k \right)!}\,;\,C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}\) để giải bất phương trình. Lưu ý điều kiện của \(C_{n}^{k}\) là \(0\le k\le n\,\,;k,n\in N\).

Cách giải

DK 

\(\left\{ \begin{array}{l}n - 1 \ge 4\\n - 1 \ge 3\\n - 2 \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow n \ge 5\)

\(\begin{array}{l}C_{n - 1}^4 - C_{n - 1}^3 - \frac{5}{4}A_{n - 2}^2 < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{4!\left( {n - 5} \right)!}} - \frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{3!\left( {n - 4} \right)!}} - \frac{{5\left( {n - 2} \right)!}}{{4\left( {n - 4} \right)!}} < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 5} \right)!}}\left( {\frac{{n - 1}}{{24}} - \frac{{n - 1}}{{6\left( {n - 4} \right)}} - \frac{5}{{4\left( {n - 4} \right)}}} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{n - 1}}{{24}} - \frac{{n - 1}}{{6\left( {n - 4} \right)}} - \frac{5}{{4\left( {n - 4} \right)}} < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 4} \right) - 4\left( {n - 1} \right) - 5.6}}{{24\left( {n - 4} \right)}} < 0\\ \Leftrightarrow {n^2} - 5n + 4 - 4n + 4 - 30 < 0\\ \Leftrightarrow {n^2} - 9n - 22 < 0\\ \Leftrightarrow n \in \left( { - 2;11} \right)\end{array}\)

 Kết hợp điều kiện ta có \(n\in \left[ 5;11 \right)\)

Mà n là số nguyên dương nên \(n\in \left\{ 5;6;7;8;9;10 \right\}\).

 Chọn A