Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạn...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Giải chi tiết:

Ta có \(AC=a\sqrt{2};\widehat{SCA}=\widehat{\left( SC;\left( ABCD \right) \right)}={{45}^{0}}\Rightarrow SA=AC=a\sqrt{2}\)

Dựng \(Bx||AC\Rightarrow d\left( AC;SB \right)=d\left( AC;SBx \right)\)

Dựng \(AE\bot Bx,\ AF\bot SE\,\,\,\left( 1 \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}Bx \bot AE\\Bx \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow Bx \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow Bx \bot AF\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(AF\bot \left( SBE \right)\Rightarrow d=AF\)

Ta có \(BE||AC\Rightarrow BE\bot BD\) dễ ràng suy ra \(OEBO\) là hình chữ nhật suy ra \(AE=OB=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)

Vậy khoảng cách \(d\left( SB;AC \right)=\frac{AE.SA}{\sqrt{A{{E}^{2}}+S{{A}^{2}}}}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2}}{\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{10}}{5}\).

Chọn C.