Với mọi số nguyên dương n thì \({S_n} = {n^3} + 2n...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết:

Với n = 1 ta có:\({S_1} = {1^3} + 2.1 = 3\) chia hết cho 3, ta sẽ chứng minh S­_n­ chia hết cho 3 với mọi n.

Giả sử khẳng định trên đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {k^3} + 2k\) chia hết cho 3, ta chứng minh \({S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 2\left( {k + 1} \right)\) cũng chia hết cho 3.

Ta có: \({S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 2\left( {k + 1} \right) = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 2k + 2 = \left( {{k^3} + 2k} \right) + 3\left( {{k^2} + k + 1} \right)\)

Có: \(\left( {{k^3} + 2k} \right)\,\, \vdots \,\,3\) (theo giả thiết quy nạp), \(3\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow 3\left( {{k^2} + k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow {S_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,3.\)

Vậy S_n chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n.

Chọn A.