Cho \(f\left( x \right)\) là đa thức thỏa mãn \(\...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tính giới hạn vô định \(\frac{\infty }{\infty }\) với biểu thức chứa căn ta làm mất nhân tử của tử và mẫu bằng cách nhân liên hợp, tạo hằng đẳng thức.

Giải chi tiết:

Đặt \(P=P\left( x \right)=\sqrt(3){6f\left( x \right)+5}\Rightarrow P-5=\dfrac{{{P}^{3}}-{{5}^{3}}}{{{P}^{2}}+5P+25}=\dfrac{6f\left( x \right)+5-{{5}^{3}}}{{{P}^{2}}+5P+25}=\dfrac{6\left( f\left( x \right)-20 \right)}{{{P}^{2}}+5P+25}.\)

Vì \(\underset{x\,\to \,2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f\left( x \right)-20}{x-2}=10\) nên \(f\left( 2 \right)-20=0\Rightarrow f\left( 2 \right)=20\Rightarrow P=5\)

Khi đó \(\underset{x\,\to \,2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt(3){6f\left( x \right)+5}-5}{{{x}^{2}}+x-6}=\underset{x\,\to \,2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{6\left( f\left( x \right)-20 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)\left( {{P}^{2}}+5P+25 \right)}=\underset{x\,\to \,2}{\mathop{\lim }}\,\left( \dfrac{f\left( x \right)-20}{x-2}.\dfrac{6}{\left( x+3 \right)\left( {{P}^{2}}+5P+25 \right)} \right).\)

Suy ra \(T=\underset{x\,\to \,2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f\left( x \right)-20}{x-2}.\underset{x\,\to \,2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{6}{\left( x+3 \right)\left( {{P}^{2}}+5P+25 \right)}=10.\dfrac{6}{5.75}=\dfrac{4}{25}.\)

Chọn B