Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình \({2^x...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa về cùng số mũ \(\frac{x}{2}\), chia cả 2 vế của bất phương trình cho \({4^{\frac{x}{2}}}\) , dùng phương pháp hàm số để giải bất phương trình.

Giải chi tiết:

\({2^x} < {3^{\frac{x}{2}}} + 1 \Leftrightarrow {4^{\frac{x}{2}}} < {3^{\frac{x}{2}}} + 1 \Leftrightarrow 1 < {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{\frac{x}{2}}} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{\frac{x}{2}}} = f\left( x \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{\frac{x}{2}}} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{\frac{x}{2}}}\) nghịch biến trên R.

Mà \(f\left( 2 \right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1 \Leftrightarrow f\left( 2 \right) < f\left( x \right)\,\,\forall x \in R\), mà hàm số \(y = f\left( x \right)\)  là hàm nghịch biến nên \(x < 2\)

Vậy các nghiệm nguyên dương của bất phương trình là x = 1. Có 1 nghiệm nguyên dương duy nhất.

Chọn D.