Số các số phức  thỏa mãn hệ thức: \(\left| {{z}^{...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi số phức \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào điều kiện đề bài tìm \(a,b\).

Công thức mô đun của số phức \(\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\).

Giải chi tiết:

Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), ta có:

\(\left| z \right|=2\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=2\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4(1)\)

\({{z}^{2}}+\overline{z}={{\left( a+bi \right)}^{2}}+a-bi={{a}^{2}}+2abi-{{b}^{2}}+a-bi=({{a}^{2}}+a-{{b}^{2}})+(2ab-b)i\)

\(\Rightarrow \left| {{z}^{2}}+\overline{z} \right|=2\Leftrightarrow {{\left|{{z}^{2}}+\overline{z} \right|}^{2}}=4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + a - {b^2}} \right)^2} + {\left( {2ab - b} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow {a^4} + {a^2} + {b^4} + 2{a^3} - 2{a^2}{b^2} - 2a{b^2} +4{a^2}{b^2} + {b^2} - 4a{b^2} = 4\\ \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} + 2{a^2}{b^2} + 2{a^3} - 6a{b^2} + {a^2} + {b^2} = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} + 2a\left({{a^2} - 3{b^2}} \right) + ({a^2} + {b^2}) = 4(2)\end{array}\)

Thay (1) vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}16 + 2a(4 - 4{b^2}) + 4 = 4\\ \Leftrightarrow 2 + a\left( {1 - {b^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {b^2} = \frac{{2 + a}}{a}(3)\end{array}\)

Thay (3) vào (1) ta được: \({{a}^{2}}+\frac{2+a}{a}=4\Leftrightarrow {{a}^{3}}-3a+2=0\Leftrightarrow\left[ \begin{align}  & a=1 \\  & a=-2 \\ \end{align} \right.\)

Với \(a=-2\Rightarrow b=0\Rightarrow z=-2.\)

Với \(a=1\Rightarrow {{b}^{2}}=3\Rightarrow b=\pm \sqrt{3}\Rightarrow z=1\pm \sqrt{3}i.\)

Vậy có \(3\)  số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện đề bài.

Chọn C.