Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đườn...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh \(\Delta BEC \sim \Delta ADC\) theo trường hợp góc – góc.

b) Từ 2 tam giác đồng dạng ở a) suy ra tỉ số đồng dạng rồi suy ra điều phải chứng minh

c) Kẻ \(EM \bot BC\) tại M, sử dụng tính chất trong tam giác vuông có một góc bằng \({30^o}\) thì cạnh đối diện với góc \({30^o}\) bằng nửa cạnh huyền. Tính tỉ số diện tích hai tam giác CDE và ABC từ đó suy ra diện tích tam giác CDE.

d) Biến đổi để chứng minh \(B{C^2} - 4DH.DA \ge 0\) bằng cách chứng minh \(DH.DA = BD.CD\) và sử dụng hằng đẳng thức.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh \(\Delta BEC \sim \Delta ADC\)

Ta có: \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) là các đường cao của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow AD \bot BC,\,\,BE \bot AC,\,\,CF \bot AB\)

Hay \(\angle ADC = \angle BEC = \angle BFC = {90^0}\)

Xét \(\Delta BEC\) và \(\Delta ADC\) có:

\(\begin{array}{l}\angle C\,\,\,chung\\\angle BEC = \angle ADC = {90^o}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BEC \sim \Delta ADC\,\,\,\left( {g - g} \right)\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

b) Chứng minh \(\frac{{BE}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AC}}\)

Ta có \(\Delta BEC \sim \Delta ADC\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{BE}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{BE}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AC}}\) (đpcm)

c) Tính diện tích tam giác CDE biết diện tích tam giác ABC bằng \(160c{m^2}\) và \(\angle BCA = {60^o}\)

Kẻ \(EM \bot BC\) tại M.

Xét \(\Delta EMC\) và \(\Delta ADC\) có:

\(\begin{array}{l}\angle C\,\,chung\\\angle EMC = \angle ADC = {90^o}\\ \Rightarrow \Delta EMC \sim \Delta ADC\,\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{{EM}}{{AD}} = \frac{{CM}}{{CD}}\) (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

Tam giác EMC vuông tại M có \(\angle C = {60^o} \Rightarrow CE = 2CM\)

Tam giác BEC vuông tại E có \(\angle C = {60^o} \Rightarrow BC = 2CE = 4CM \Rightarrow \frac{{CM}}{{BC}} = \frac{1}{4}\)

Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{\Delta CDE}} = \frac{1}{2}EM.CD\\{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AD.BC\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta CDE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{EM.CD}}{{AD.BC}} = \frac{{EM}}{{AD}}.\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CM}}{{CD}}.\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CM}}{{BC}} = \frac{1}{4}\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta CDE}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{4}.160 = 40\,\,(c{m^2})\)

d) Chứng minh \(DH.DA \le \frac{{B{C^2}}}{4}\)

Ta có \(\angle BAD + \angle ABD = {90^o}\) \((\Delta ABD\) vuông tại \(D).\)

Lại có \(\angle HCD + \angle ABD = {90^o}\) \((\Delta BCF\) vuông tại \(F).\)

\( \Rightarrow \angle HCD = \angle BAD\) (cùng phụ \(\angle ABD\))

Xét \(\Delta HCD\) và \(\Delta BAD\) có:

\(\begin{array}{l}\angle HCD = \angle BAD\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle HDC = \angle BDA = {90^o}\\ \Rightarrow \Delta HCD \sim \Delta BAD\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{DH}}{{BD}} = \frac{{CD}}{{DA}} \Rightarrow DH.DA = BD.CD \Rightarrow 4DH.DA = 4BD.CD\end{array}\)   

Ta có \(B{C^2} = {\left( {BD + CD} \right)^2} = B{D^2} + C{D^2} + 2BD.CD\)

\( \Rightarrow B{C^2} - 4BD.BC = B{D^2} + C{D^2} - 2BD.BC = {\left( {BD - CD} \right)^2}\)

Mà \({\left( {BD - CD} \right)^2} \ge 0\)

\( \Rightarrow B{C^2} - 4BD.BC \ge 0 \Rightarrow B{C^2} - 4DH.DA \ge 0\)

\( \Rightarrow 4DH.DA \le B{C^2} \Rightarrow DH.DA \le \frac{{B{C^2}}}{4}\)  (đpcm)