Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi D là trung điểm của BC. Vì tam giác SBC đều nên \(SD \bot BC\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SD \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow SD \bot \left( {ABC} \right)\)

Tam giác ABC vuông cân tại A nên \(AD \bot BC\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}SD \bot BC\\AD \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right)\)

Trong (SAD) kẻ \(DH \bot SA\,\,\left( 1 \right)\) ta có: \(BC \bot \left( {SAD} \right) \supset DH \Rightarrow DH \bot BC\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(DH\) là đoạn vuông góc chung của SA và BC \( \Rightarrow d\left( {SA;BC} \right) = DH\)

Tam giác ABC vuông cân tại A nên \(AD = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}\)( định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Tam giác SBC đều nên \(SD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAD có: \(\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{S{D^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}} \Rightarrow DH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \(d\left( {SA;BC} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

 Chọn C.