Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\)  có đồ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi hàm số cần tìm là \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)

Xác định các điểm thuộc đồ thị hàm số rồi thay tọa độ vào hàm số để được hệ bốn ẩn

Giải hệ ta tìm được \(a;b;c;d\). Từ đó tìm nghiệm phương trình \(f\left( x \right) = 0\).

Giải chi tiết:

Gọi hàm số cần tìm là \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)

Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị \(\left( C \right)\) cắt đường thẳng \(d\) tại ba điểm có hoành độ \(x =  - 1;x = {x_0};x = 3\,\)

Với \(x =  - 1 \Rightarrow y =  - 1 - 1 =  - 2\)  hay điểm \(\left( { - 1; - 2} \right)\) thuộc đồ thị \(\left( C \right).\)

Với \(x = 3 \Rightarrow y = 3 - 1 = 2\) hay điểm \(\left( {3;2} \right)\) thuộc đồ thị \(\left( C \right)\)

Lại thấy giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và đường thẳng \(\left( d \right):y = x - 1\) là \(A\left( {{x_0};0} \right)\) suy ra \(0 = {x_0} - 1 \Rightarrow {x_0} = 1\)

Vậy điểm \(A\left( {1;0} \right)\) thuộc đồ thị \(\left( C \right).\)

Thấy đồ thị \(\left( C \right)\) cắt trục tung tại \(\left( {0;2} \right) \Rightarrow d = 2 \Rightarrow y = a{x^3} + b{x^2} + cx + 2\)

Các điểm \(\left( { - 1; - 2} \right)\) ; \(\left( {3;2} \right)\) ; \(\left( {1;0} \right)\) đều thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}a{\left( { - 1} \right)^3} + b{\left( { - 1} \right)^2} + c.\left( { - 1} \right) + 2 =  - 2\\a{.3^3} + b{.3^2} + c.3 + 2 = 2\\a{.1^3} + b{.1^2} + c.1 + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b - c =  - 4\\27a + 9b + 3c = 0\\a + b + c =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 3\\c = 0\end{array} \right.\)

Suy ra \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\)

Phương trình \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 3 \\x = 1\\x = 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\)

Suy ra \({x_1} = 1 - \sqrt 3 ;{x_2} = 1;{x_3} = 1 + \sqrt 3  \Rightarrow {x_1}.{x_3} = \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right) =  - 2\)

Chọn A.