1) Cho biểu thức \(P = abc\left( {a - 1} \right)\l...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Sử dụng tính chất chia hết để làm bài.

2)  Đánh giá biểu thức, biến đổi và chứng minh biểu thức đã cho là số nguyên.

Giải chi tiết:

1) Cho biểu thức \(P = abc\left( {a - 1} \right)\left( {b + 4} \right)\left( {c + 6} \right),\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên thỏa mãn \(a + b + c = 2019.\) Chứng minh giá trị của biểu thức \(P\) chia hết cho \(6.\)

Ta có: \(a + b + c = 2019\) là số lẻ \( \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c\) cùng là số lẻ hoặc có hai trong ba số trên là số chẵn, một số là số lẻ.

Để chứng minh \(P\, \vdots \,\,6\) ta cần chứng minh \(P\,\, \vdots \,\,2\) và \(P\,\, \vdots \,\,3.\)

a) Chứng minh \(P\,\, \vdots \,\,2\)

TH1: Xét \(a,\,\,b,\,\,c\) cùng là số lẻ.

Vì \(a\) là số lẻ \( \Rightarrow a - 1\) là số chẵn và chia hết cho \(2 \Rightarrow P = abc\left( {a - 1} \right)\left( {b + 4} \right)\left( {c + 6} \right)\,\, \vdots \,\,\,2.\)

TH2: Xét \(a,\,\,b,\,\,c\) có hai trong ba số là số chẵn và một số là số lẻ.

\( \Rightarrow abc\) là số chẵn \( \Rightarrow P\,\, \vdots \,\,\,2.\)

b) Chứng minh \(P\,\, \vdots \,\,3\)

Giả sử \(P\) không chia hết cho \(3.\) Khi đó ta xét:

+) \(a\left( {a - 1} \right)\) không chia hết cho \(3 \Rightarrow a\) chia \(3\) dư \(2.\)

+) \(b\left( {b + 4} \right)\) không chia hết cho \(3 \Rightarrow b\) chia \(3\) dư \(1.\)

\( \Rightarrow c = 2019 - a - b\,\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow P\,\, \vdots \,\,3\) (mâu thuẫn với giả thiết).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P\,\, \vdots \,\,3.\\ \Rightarrow P\,\, \vdots \,\,6.\end{array}\)

Vậy ta có \(P = abc\left( {a - 1} \right)\left( {b + 4} \right)\left( {c + 6} \right)\) chia hêt cho \(6\) khi \(a + b + c = 2019.\)

2) Tìm tất cả số tự nhiên \(n\) để giá trị của biểu thức \(Q = \sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + \sqrt {n + 2} } \) là số nguyên.

Với \(\forall \,\,n \in \mathbb{N}\) ta có: \(Q = \sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + \sqrt {n + 2} }  > 1\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,Q = \sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + \sqrt {n + 2} } \\ \Leftrightarrow Q - \sqrt {n + 2}  = \sqrt {n + \sqrt {n + 2} } \\ \Leftrightarrow {\left( {Q - \sqrt {n + 2} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {n + \sqrt {n + 2} } } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {Q^2} - 2Q\sqrt {n + 2}  + n + 2 = n + \sqrt {n + 2} \\ \Leftrightarrow {Q^2} + 2 = 2Q\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 2} \\ \Leftrightarrow {Q^2} + 2 = \sqrt {n + 2} \left( {2Q + 1} \right).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Ta có: \({Q^2} + 2 > 2;\,\,{Q^2} \in \mathbb{N}* \Rightarrow {Q^2} + 2 \in {\mathbb{Z}^ + }\)

\( \Rightarrow \sqrt {n + 2} \left( {2Q + 1} \right) \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow \sqrt {n + 2} \) là số hữu tỉ.

Không mất tính tổng quát, đặt \(\sqrt {n + 2}  = \frac{a}{b}\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{N}*,\,\,\left( {a;\,\,b} \right) = 1} \right).\)

Khi đó ta có: \(n + 2 = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}.\)

Vì \(n \in \mathbb{N} \Rightarrow n + 2 \in \mathbb{N} \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} \in \mathbb{N} \Rightarrow {a^2}\,\, \vdots \,\,{b^2}.\)

Mà \(\left( {a,\,\,b} \right) = 1 \Rightarrow b = 1 \Rightarrow \sqrt {n + 2}  = a \Rightarrow \sqrt {n + 2} \) là số nguyên dương.

\(\sqrt {n + 2}  = \frac{{{Q^2} + 2}}{{2Q + 1}} \Rightarrow {Q^2} + 2\,\, \vdots \,\,2Q + 1.\)

Ta có: \(4\left( {{Q^2} + 2} \right) = 4{Q^2} + 8 = \left( {4{Q^2} - 1} \right) + 9 = \left( {2Q + 1} \right)\left( {2Q - 1} \right) + 9\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 9\,\, \vdots \,\,2Q + 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2Q + 1 = 3\\2Q + 1 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}Q = 1\,\,\,\left( {ktm\,\,\,do\,\,Q > 1} \right)\\Q = 4\end{array} \right..\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {4^2} + 2 = 9.\sqrt {n + 2}  \Leftrightarrow \sqrt {n + 2}  = 2\, \Leftrightarrow n + 2 = 4 \Leftrightarrow n = 2\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy số tự nhiên \(n\) thỏa mãn bài toán là \(n = 2.\) 

Chọn B.