Cho các số nguyên \(a,\,\,b,\,\,c\) và \(a \ne 0\)...

Câu hỏi: Cho các số nguyên \(a,\,\,b,\,\,c\) và \(a \ne 0\). Chứng minh rằng nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm hữu tỉ thì \(\Delta = {b^2} - 4ac\) là số chính phương.

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tính \(\Delta = {b^2} - 4ac\) sau đó suy ra các nghiệm \({x_1};{x_2}\)dưới dạng tổng quát rồi đánh giá.

Giải chi tiết:

Vì phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm hữu tỷ nên \(\Delta = {b^2} - 4ac \ge 0 \Rightarrow \Delta \in \mathbb{N}\)

Phương trình có hai nghiệm hữu tỷ \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\\{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\end{array} \right.;\,\,{x_1},{x_2} \in \mathbb{Q}\)

\( \Rightarrow 2a{x_1} = - b + \sqrt \Delta \Rightarrow \sqrt \Delta = 2a{x_1} + b\).

Vậy \(\Delta \) là số chính phương.

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Đề thi online - Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên: Phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai - Có lời giải chi tiết

↑