Tìm \(a,b\) sao cho \({x^4} + a{x^3} + 6{x^2} + bx...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đồng nhất hệ số.

Giải chi tiết:

Giả sử \({x^4} + a{x^3} + 6{x^2} + bx + 1\) là bình phương của một đa thức \(P\left( x \right),\) khi đó \(P\left( x \right)\) là đa thức bậc hai có dạng \(P\left( x \right) = A{x^2} + Bx + C,\,\,\left( {A \ne 0} \right).\) Ta có:

\({x^4} + a{x^3} + 6{x^2} + bx + 1 = {\left( {A{x^2} + Bx + C} \right)^2} = {A^2}{x^4} + 2AB{x^3} + \left( {2AC + {B^2}} \right){x^2} + 2BCx + {C^2}\),

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{A^2} = 1\\2AB = a\\2AC + {B^2} = 6\\2BC = b\\{C^2} = 1\end{array} \right.\).

Trường hợp 1: \(A = 1\) và \(C = 1\). 

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B = \dfrac{a}{2}\\{B^2} + 2 = 6\\B = \dfrac{b}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B = 2\\a = b = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B =  - 2\\a = b =  - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Trường hợp 2: \(A = 1\) và \(C =  - 1\). 

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B = \dfrac{a}{2}\\{B^2} - 2 = 6\\B =  - \dfrac{b}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B = 2\sqrt 2 \\a = 4\sqrt 2 \\b =  - 4\sqrt 2 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B =  - 2\sqrt 2 \\a =  - 4\sqrt 2 \\b = 4\sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right.\).

Trường hợp 3: \(A =  - 1\) và \(C = 1\). 

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B =  - \dfrac{a}{2}\\{B^2} - 2 = 6\\B = \dfrac{b}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B = 2\sqrt 2 \\a =  - 4\sqrt 2 \\b = 4\sqrt 2 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B =  - 2\sqrt 2 \\a = 4\sqrt 2 \\b =  - 4\sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right.\).

Trường hợp 4: \(A =  - 1\) và \(C =  - 1\). 

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B =  - \dfrac{a}{2}\\{B^2} + 2 = 6\\B =  - \dfrac{b}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B = 2\\a = b =  - 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B =  - 2\\a = b = 4\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 4\end{array} \right.;\,\,\left\{ \begin{array}{l}a =  - 4\\b =  - 4\end{array} \right.;\,\,\left\{ \begin{array}{l}a = 4\sqrt 2 \\b =  - 4\sqrt 2 \end{array} \right.;\,\,\left\{ \begin{array}{l}a =  - 4\sqrt 2 \\b = 4\sqrt 2 \end{array} \right.\) là các cặp số cần tìm.

Chọn C.