Cho hình vuông ABCD có tâm O , vẽ đường thẳng (d)...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Chứng minh I thuộc AB.

- Chứng minh \(\angle BHA = {90^0}\), sử dụng tứ giác nội tiếp và định lí: Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

- Chứng minh H thuộc đường tròn đường kính AB.

- Gọi K là giao điểm của IH và đường tròn đường kính AB, chứng minh số đo cung AK không đổi, từ đó chứng minh K là điểm cố định.

Giải chi tiết:

Gọi I và I’ lần lượt là đường thẳng qua F song song với AC và đường thẳng qua E song song với BD giao với đường thẳng AB.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{BI}}{{BA}} = \dfrac{{BF}}{{BC}}\), \(\dfrac{{BI'}}{{BA}} = \dfrac{{DE}}{{DA}}\).

Dễ dàng chứng minh được \(\Delta OBF = \Delta ODE\,\,\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow BF = DE\).

Lại có \(BC = DA\) (do ABCD là hình vuông) \( \Rightarrow \dfrac{{BI}}{{BA}} = \dfrac{{BI'}}{{BA}} \Rightarrow BI = BI'\), do đó I trùng với I’ hay \(I \in AB\).

Ta có \(\angle IHE + \angle IAE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)  nên tứ giác IHEA là tứ gíc nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).

Ta có: \(\dfrac{{AI}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AD}}\) (định lí Ta-lét), mà AB = AD nên suy ra AI = AE.

\( \Rightarrow \Delta AIE\) vuông cân tại A \( \Rightarrow \angle AEI = \angle AIE = {45^0}\) \( \Rightarrow \angle IHA = \angle AEI = {45^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AI).

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có \(\angle BHI = \angle BFI = {45^0}\).

Vẽ đường tròn đường kính AB ta có: \(\angle BHA = \angle IHA + \angle BHI = {45^0} + {45^0} = {90^0}\)  nên H thuộc đường tròn đường kính AB.

Giả sử HI cắt đường tròn đường kính AB tại K. Ta có: Số đo cung KA = \(2\angle KHA = {2.45^0} = {90^0}\).

Do K thuộc đường tròn đường kinh AB, sđ cung KH = 90 nên K cố định hay HI đi qua K cố định.