Phương trình \({\cos ^3}x + {\sin ^3}x = \cos 2x\)...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Sử dụng hẳng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\) và công thức nhân đôi : \(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\).

- Đưa phương trình về dạng tích.

- Giải các phương trình lượng giác đã biết cách giải

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\cos ^3}x + {\sin ^3}x = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {{{\cos }^2}x - \cos x\sin x + {{\sin }^2}x} \right) = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right) = \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x + \sin x - \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x + \sin x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\1 - \sin x\cos x + \sin x - \cos x = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giải (1): \(\cos x + \sin x = 0 \Leftrightarrow \tan x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Giải (2): Đặt \(t = \sin x - \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right)\) thì \(\sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành : \(1 - \dfrac{{1 - {t^2}}}{2} + t = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {t + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\).

Với \(t =  - 1\) thì \(\sin x - \cos x =  - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy phương trình đã cho có 3 họ nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta được:

Dựa vào đường tròn lượng giác ta thấy nghiệm âm lớn nhất là \(x =  - \dfrac{\pi }{4}\) và nghiệm dương nhỏ nhất là \(x = \dfrac{{3\pi }}{4}\).

Khi đó tổng bằng \( - \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{3\pi }}{4} = \dfrac{\pi }{2}\).

Chọn A