Gọi \({{x}_{0}}\) là nghiệm dương nhỏ nhất cu...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải phương trình đẳng cấp bậc hai đối với \(\sin x\) và \(\cos x\).

\(a{{\sin }^{2}}x+b\sin x\cos x+c{{\cos }^{2}}x=0\)

+) Nhận xét: \(\cos x=0\) không là nghiệm của phương trình.

+) Chia cả hai vế cho \({{\cos }^{2}}x\) ta được \(a.{{\tan }^{2}}x+b\tan x+c=0\). Giải phương trình bậc hai ẩn \(\tan x\) ta tìm được nghiệm của phương trình đã cho.

Giải chi tiết:

\(3{{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-{{\cos }^{2}}x=0\)

Nhận xét : \(\cos x=0\) không là nghiệm của phương trình.

Xét \(\cos x\ne 0\), chia hai vế của phương trình cho \({{\cos }^{2}}x\), phương trình trở thành :

\(3{\tan ^2}x + 2\tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = \frac{1}{3}\\\tan x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arctan \frac{1}{3} + k\pi \\x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in {\rm Z}} \right)\).

Với \(x=\arctan \frac{1}{3}+k\pi \), ta có nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(x=\arctan \frac{1}{3}\) ứng với \(k=0\)

Với \(x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \), ta có nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(x=\frac{3\pi }{4}\) ứng với \(k=1\).

Do đó, nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là \(x=\arctan \frac{1}{3}\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)

\(\Rightarrow x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)

Chọn D.