Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuô...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Mặt mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó \(\Rightarrow SI\bot \left( ABCD \right)\)

+) Xác định góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SBC), kẻ \(IE\bot BC,\) chứng minh \(\widehat{\left( \left( SBCD \right);\left( SBC \right) \right)}=\widehat{\left( IE;SE \right)}\)

+) Kẻ \(IH\bot SE\), chứng minh \(d\left( I;\left( SBC \right) \right)=IH\), tính IH.

Giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{align}  & \left( SBI \right)\bot \left( ABCD \right) \\  & \left( SCI \right)\bot \left( ABCD \right) \\  & \left( SBI \right)\cap \left( SCI \right)=SI \\ \end{align} \right.\Rightarrow SI\bot \left( ABCD \right)\)

Trong (ABCD) kẻ \(IE\bot BC\) ta có

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot IE\\
BC \bot SI
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SIE} \right) \Rightarrow BC \bot SE\\
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\
\left( {SBC} \right) \supset SE \bot BC\\
\left( {ABCD} \right) \supset IE \bot BC
\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBCD} \right);\left( {SBC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {IE;SE} \right)} = \widehat {SEI} = {60^0}
\end{array}\)

Trong (SIE) kẻ \(IH\bot SE\Rightarrow IH\bot BC\Rightarrow IH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( I;\left( SBC \right) \right)=IH\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}
{S_{ABI}} = \frac{1}{2}AB.AI = \frac{1}{2}3a.\frac{a}{2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\\
{S_{ICD}} = \frac{1}{2}CD.ID = \frac{1}{2}a.\frac{a}{2} = \frac{{{a^2}}}{4}\\
{S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AD\left( {AB + CD} \right) = \frac{1}{2}a\left( {a + 3a} \right) = 2{a^2}\\
\Rightarrow {S_{IBC}} = 2{a^2} - \left( {\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4}} \right) = {a^2}
\end{array}\)

\(BC=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}}=a\sqrt{5}\)

Mà \({{S}_{IBC}}=\frac{1}{2}IE.BC\Leftrightarrow IE=\frac{2{{S}_{IBC}}}{BC}=\frac{2{{a}^{2}}}{a\sqrt{5}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}\)

Xét tam giác vuông IHE có : \(IH=IE.\sin 60=\frac{2a}{\sqrt{5}}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{15}}{5}\)

Chọn B.