Cho đường tròn tâm O bán kính R, đường kính BC. Gọ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. +) Chứng minh sđ cung MB = sđ cung MC.

+) Chứng minh tam giác MBC cân nên trung tuyến đồng thời là đường cao.

2. Chứng minh tứ giác AEDF là tứ giác có ba góc vuông và có 1 đường chéo là phân giác của một góc.

3. Sử dụng tính chất đường phân giác. Tính CD. Từ đó tính \({{S}_{MCD}}=\frac{1}{2}OM.CD\)

Giải chi tiết:

1. Do AM  là phân giác của góc BAC \(\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{MAC}\Rightarrow \) sđ cung MB = sđ cung MC.

\(\Rightarrow MB=MC\) (hai dây cung chắn hai góc bằng nhau thì bằng nhau).

\(\Rightarrow \Delta MBC\) cân tại M \(\Rightarrow \) Trung tuyến MO đồng thời là đường cao \(\Rightarrow MO\bot BC\).

2. Ta có \(\widehat{BAC}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{EAF}={{90}^{0}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(DE\bot AB\Rightarrow \widehat{DEA}={{90}^{0}};\,\,DF\bot AC\Rightarrow \widehat{DFA}={{90}^{0}}\Rightarrow \) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (Tứ giác có ba góc vuông).

Lại có \(AD\) là phân giác của góc EAF \(\Rightarrow \) AEDF là hình vuông (Hình chữ nhật có 1 đường chéo đồng thời là phân giác của 1 góc).

3. Ta có: \(\widehat{ABC}={{60}^{0}}\Rightarrow AB=R,\ \ AC=R\sqrt{3}.\ \ \)

Vì AD là phân giác của góc BAC

\(\Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{R}{R\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \frac{DB+DC}{DC}=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\Rightarrow \frac{BC}{DC}=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow DC=\frac{BC\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=\frac{2R\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=\left( 3-\sqrt{3} \right)R\)

\(\Rightarrow {{S}_{MDC}}=\frac{1}{2}OM.DC=\frac{1}{2}R.\left( 3-\sqrt{3} \right)R=\frac{\sqrt{3}\left( \sqrt{3}-1 \right)}{2}{{R}^{2}}\)

Chọn C