Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác  MDBF có tổng hai góc đối bằng 180⁰ và tứ giác MDEC có hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau.

b) Chứng minh \(\widehat {BDF} = \widehat {CDE}\)

c) Phân tích

\(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{ME}} + \frac{{AB}}{{MF}} = \frac{{AE + EC}}{{ME}} + \frac{{AF - BF}}{{MF}} = \frac{{AE}}{{ME}} + \frac{{EC}}{{ME}} + \frac{{AF}}{{MF}} - \frac{{BF}}{{MF}}\\ = \tan \widehat {AME} + \tan \widehat {EMC} + \tan \widehat {AMF} - \tan \widehat {FMB}.\end{array}\)

+) Chứng minh \(\widehat {EMC} = \widehat {FMB}\)

+) Chứng minh \(\widehat {AME} = \widehat {BMD}\), \(\widehat {AMF} = \widehat {DMC}\).

Giải chi tiết:

a) Xét tứ giác MDBF có \(\widehat {MDB} + \widehat {MFB} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác MDBF là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

Xét tứ giác MDEC có \(\widehat {MDC} = \widehat {MEC} = {90^0} \Rightarrow \) tứ giác MDEC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau).

b) Vì tứ giác \(MDBF\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {BDF} = \widehat {BMF}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)

Vì tứ giác MDEC là tứ giác nội tiếp \(\Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CME}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE)

Ta có \(\widehat {BMF} + \widehat {MBF} = {90^0};\,\,\widehat {CME} + \widehat {MCE} = {90^0}\) .

Mà \(\widehat {MCE} = \widehat {MBF}\) (cùng bù với \(\widehat {ABM}\))

\(\Rightarrow \widehat {BMF} = \widehat {CME} \Rightarrow \widehat {BDF} = \widehat {CDE}.\)

Mà hai góc này ở vị trí hai góc đối đỉnh \( \Rightarrow D;E;F\) thẳng hàng.

c) Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{ME}} + \frac{{AB}}{{MF}} = \frac{{AE + EC}}{{ME}} + \frac{{AF - BF}}{{MF}} = \frac{{AE}}{{ME}} + \frac{{EC}}{{ME}} + \frac{{AF}}{{MF}} - \frac{{BF}}{{MF}}\\ = \tan \widehat {AME} + \tan \widehat {EMC} + \tan \widehat {AMF} - \tan \widehat {FMB}.\end{array}\)

Xét \(\Delta BMF\) và \(CME\) có :

\(\widehat{MFB}=\widehat{MEC}={{90}^{0}};\,\,\widehat{MCE}=\widehat{MBF}\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow \Delta BMF\backsim \Delta CME\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \widehat{EMC}=\widehat{FMB}\)

\( \Rightarrow \frac{{AC}}{{ME}} + \frac{{AB}}{{MF}} = \tan \widehat {AME} + \tan \widehat {AMF}\).

Mặt khác ta có tứ giác AEMF là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

\( \Rightarrow \widehat {AME} = \widehat {AFE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE), \(\widehat {AFE} = \widehat {BMD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD).

\( \Rightarrow \widehat {AME} = \widehat {BMD}\).

Tương tự ta chứng minh được \(\widehat {AMF} = \widehat {AEF} = \widehat {DMC}\).

Do đó \(\frac{{AC}}{{ME}} + \frac{{AB}}{{MF}} = \tan \widehat {AME} + \tan \widehat {AMF} = \tan \widehat {BMD} + \tan \widehat {DMC} = \frac{{BD}}{{DM}} + \frac{{DC}}{{MD}} = \frac{{BC}}{{MD}}\) (đpcm).