Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình \(\left(...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) và công thức nhân đôi \(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\left( {7 - 2\cos 2x} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right) + 3 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {7 - 2\cos 2x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + 3 = 0\\ \Leftrightarrow  - \left( {7 - 2\cos 2x} \right)\cos 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - 7\cos 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 3\,(vo\,nghiem)\\\cos 2x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

+)\(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z\), \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\)

\( \Rightarrow  - \pi  < \frac{\pi }{6} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{6} < k < \frac{5}{6} \Leftrightarrow k \in \left\{ { - 1;0} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ { - \frac{{5\pi }}{6};\frac{\pi }{6}} \right\}\)

+)\(x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z\), \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\)

\( \Rightarrow  - \pi  <  - \frac{\pi }{6} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow \frac{{ - 5}}{6} < k < \frac{7}{6} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ { - \frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}} \right\}\)

Tổng các nghiệm của phương trình là: \(S =  - \frac{{5\pi }}{6} + \frac{\pi }{6} + \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + \frac{{5\pi }}{6} = 0\).

Chọn: A