Cho hình chóp  S,ABC có SA vuông góc với đáy...

D

- Hướng dẫn giải

Đáp án D

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$, D là điểm đối xứng với A qua O.

$\Rightarrow OA=OB=OD$suy ra tam giác ABD vuồn tại $B\Rightarrow AB\perp BD$.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}AB\perp BD\\ SA\perp BD\end{array}\right.\Rightarrow BD\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BD\perp AM$suy ra $AM\perp \left(SBD\right).$

Suy ra $AM\perp SD.$ Tương tự, ta chứng minh được $AN\perp SD$

Do đó $SD\perp \left(AMN\right).$suy ra $\widehat{\left(ABC\right);\left(AMN\right)}=\widehat{\left(SA;SD\right)}=\widehat{ASD}$

Tam giác SAD vuông tại A, có $\tan \widehat{ASD}=\frac{AD}{SA}$ 

Mà đường kính $AD=2x{R}_{\Delta ABC}=\frac{BC}{\sin {120}^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{2}xSA$

Vậy $\tan \widehat{ASD}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{ASD}={30}^{\circ }\Rightarrow \widehat{\left(ABC\right);\left(AMN\right)}={30}^{\circ }$