Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạn...

A

- Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Cách 1: Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Ta có $SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD$. Lại có $AC\perp BD$ (tính chất hình vuông).

Suy ra $BD\perp \left(SAC\right)$  . Do đó hình chiếu của SB trên  $\left(SAC\right)$ là SI. Suy ra góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $\left(SAC\right)$ là góc giữa SB và SI, tức là góc $\widehat{ISB}$   (do tam giác ISB vuông tại I nên $\widehat{ISB}$   là góc nhọn). Ta có:

$\begin{array}{l}SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}\\ =\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2},\\ IB=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\end{array}$

Do đó

$\begin{array}{l}\sin \widehat{ISB}=\frac{IB}{SB}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow \widehat{ISB}=30°\end{array}$

Cách 2: (Phương pháp tọa độ hóa) Không mất tổng quát, gán tọa độ như sau:

$A\left(0;0;0\right),B\left(1;0;0\right),$$D\left(0;1;0\right),S\left(0;0;1\right)$Khi đó $C\left(1;1;0\right)$.

Ta có $\overrightarrow{SA}=\left(0;0;-1\right),\overrightarrow{SC}=\left(1;1;-1\right),$$\overrightarrow{SB}=\left(1;0;-1\right)$ 

Đặt $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SC}\right]=\left(1;-1;0\right)$ . Khi đó $\overrightarrow{n}$  là một VTPT của $\left(SAC\right)$ .

Gọi  $\alpha$ là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $\left(SAC\right)$, $\beta$ là góc giữa vecto $\overrightarrow{n}$ và vecto $\overrightarrow{SB}$. Ta có

$\begin{array}{l}\sin \alpha =\left|\cos \beta \right|=\frac{\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{SB}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{SB}\right|}\\ =\frac{\left|1\right|}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow \alpha =30°\end{array}$