Cho Parabol \((P):y={{x}^{2}}\) và đường thẳng \(...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lập phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P). Sử dụng điều kiện để phương trình có hai nghiệm, sử dụng định lý Vi – ét, biến đổi biểu thức theo \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}\,\,;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}\). Từ đó tìm giá trị lớn nhất của A theo tham số m.

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

\(\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,{{x}^{2}}=2(m+4)x-{{m}^{2}}+8 \\  & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2(m+4)x+{{m}^{2}}-8=0 \\ \end{align}\)

\(\Delta '={{(m+4)}^{2}}-({{m}^{2}}-8)=8m+24\)

Phương trình có hai nghiệm\({{x}_{1}}\,\,;\,\,{{x}_{2}}\Leftrightarrow \Delta '\ge 0\Leftrightarrow 8m+24\ge 0\Leftrightarrow m\ge -3.\)

Áp dụng định lý Vi – ét ta có: \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2(m+4)\,\,\,;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-8\,\,\,.\)

Ta có:

 \(\begin{align}  & A={{x}_{1}}+{{x}_{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2(m+4)-3({{m}^{2}}-8)=-3{{m}^{2}}+2m+32 \\  & \ \ \ =-3\left( {{m}^{2}}-\frac{2}{3}m-\frac{32}{3} \right)=-3{{\left( m-\frac{1}{3} \right)}^{2}}\frac{97}{3}\le \frac{97}{3}\ \forall m. \\ \end{align}\)

Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\frac{97}{3}\) khi \(m=\frac{1}{3}\) (thỏa mãn).

Chọn D.