a) Giải phương trình \(6{{\left( x-\frac{x}{x+1} \...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)  +) Tìm ĐKXĐ.

+) Quy đồng, bỏ mẫu.

+) Đưa phương trình về dạng tích.

b) +) Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

+) Phân tích, sử dụng hằng đẳng thức để tìm GTNN của P.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
a)\,\,6{\left( {x - \frac{x}{{x + 1}}} \right)^2} + \frac{{{x^2} - 12x - 12}}{{x + 1}} = 0\,\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\
\Leftrightarrow 6{\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}} \right)^2} + \frac{{{x^2} - 12x - 12}}{{x + 1}} = 0\\
\Leftrightarrow 6\frac{{{x^4}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{{\left( {{x^2} - 12x - 12} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\\
\Leftrightarrow 6{x^4} + {x^3} - 12{x^2} - 12x + {x^2} - 12x - 12 = 0\\
\Leftrightarrow 6{x^4} + {x^3} - 11{x^2} - 24x - 12 = 0\\
\Leftrightarrow 6{x^4} - 12{x^3} + 13{x^3} - 26{x^2} + 15{x^2} - 24x - 12 = 0\\
\Leftrightarrow 6{x^3}\left( {x - 2} \right) + 13{x^2}\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right)\left( {5x + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {6{x^3} + 13{x^2} + 15x + 6} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\
6{x^3} + 13{x^2} + 15x + 6 = 0\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Giải (1):

\(\begin{array}{l}
6{x^3} + 13{x^2} + 15x + 6 = 0 \Leftrightarrow 6{x^3} + 4{x^2} + 9{x^2} + 15x + 6 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {6{x^3} + 4{x^2}} \right) + \left( {9{x^2} + 9x + 6x + 6} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 2{x^2}\left( {3x + 2} \right) + 9x\left( {x + 1} \right) + 6\left( {x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 2{x^2}\left( {3x + 2} \right) + 3\left( {3x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {3x + 2} \right)\left( {2{x^2} + 3x + 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x + 2 = 0\\
2{x^2} + 3x + 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{2}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\\
2{x^2} + 3x + 3 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

Xét phương trình \[2{{x}^{2}}+3x+3=0\] có \(\Delta ={{3}^{2}}-4.2.3=-15<0\Rightarrow \) phương trình vô  nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình \(S=\left\{ 2;-\frac{2}{3} \right\}\)

b) Phương trình \(4{{x}^{2}}+4ax-{{b}^{2}}+2=0\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\)

 \(\Rightarrow \Delta '={{\left( 2a \right)}^{2}}-4\left( -{{b}^{2}}+2 \right)=4{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}-8>0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}>2\)

Khi đó theo định lí Vi-et ta có \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{4a}{4}=-a \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{-{{b}^{2}}+2}{4} \\ \end{align} \right.\)

Theo đề bài ta có :

\(\begin{array}{l}
P = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 8{x_1}{x_2} + \frac{{1 + 2b\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{a^2}}}\\
\;\;\; = {a^2} - 2\left( { - {b^2} + 2} \right) + \frac{{1 - 2ab}}{{{a^2}}}\\
\;\;\; = {a^2} + 2{b^2} - 4 + \frac{{1 - 2ab}}{{{a^2}}}\\
\;\; = {a^2} + {b^2} + {b^2} - 4 + \frac{1}{{{a^2}}} - \frac{{2b}}{a}\\
\;\; = \left( {{a^2} + {b^2} - 4} \right) + \left( {\frac{1}{{{a^2}}} - \frac{{2b}}{a} + {b^2}} \right)\\
\;\; = \left( {{a^2} + {b^2} - 4} \right) + {\left( {\frac{1}{a} - b} \right)^2}.\\
\Rightarrow P > - 2 + {\left( {\frac{1}{a} - b} \right)^2} \ge - 2
\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow \frac{1}{a}=b\Leftrightarrow ab=1\) và thỏa mãn \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}>2\).

Vậy \({{P}_{\min }}=-2\).

 Chọn A