Giải các hệ phương trình sau:  \(\left\{ \begin{ar...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

ĐK: \(x \ge 0,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y \ge 0.\)

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: \(a = x\sqrt y ,b = y\sqrt x \), điều kiện \(a \ge 0,{\kern 1pt} {\kern 1pt} b \ge 0.\) 

Giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}2{\left( {1 + x\sqrt y } \right)^2} = 9y\sqrt x \\2{\left( {1 + y\sqrt x } \right)^2} = 9x\sqrt y \end{array} \right.\)

ĐK: \(x \ge 0,\,\,y \ge 0.\)

Đặt \(a = x\sqrt y ,b = y\sqrt x \), điều kiện \(a \ge 0,\,\,b \ge 0.\) 

Hệ (I) trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}2{\left( {1 + a} \right)^2} = 9b{\rm{ }}\,\,\,\left( 1 \right)\\2{\left( {1 + b} \right)^2} = 9a{\rm{ }}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Lấy (1) trừ (2) ta được:

\(\begin{array}{l}2{\left( {1 + a} \right)^2} - 2{\left( {1 + b} \right)^2} = 9\left( {b - a} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left( {a - b} \right)\left( {a + b + 2} \right) + 9\left( {a - b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {2a + 2b + 13} \right) = 0\\ \Leftrightarrow a - b = 0\,\,\,\,\left( {do\,\,\,2a + 2b + 13 > 0\,\,\,\forall a,\,\,b \ge 0} \right)\\ \Leftrightarrow a = b.\end{array}\)

Thay \(a = b\)  vào (1) ta có:

\(2{\left( {1 + a} \right)^2} = 9a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2 \Rightarrow b = 2\\a = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).

Khi \(a = b = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\sqrt y  = 2\\y\sqrt x  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \sqrt[3]{4}\)

Khi \(a = b = \frac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\sqrt y  = \frac{1}{2}\\y\sqrt x  = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \sqrt[3]{{\frac{1}{4}}}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {\sqrt[3]{4};\sqrt[3]{4}} \right),\left( {\sqrt[3]{{\frac{1}{4}}};\sqrt[3]{{\frac{1}{4}}}} \right)\).