Cho cặp số \((x;y)\) là nghiệm của hệ phương trình...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp giải:

Phân tích phương trình thứ 2 xuất hiện \({{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}\) và \({{\left( y+\frac{1}{y} \right)}^{2}}\) sau đó đặt ẩn phụ \(\left\{ \begin{align} & x+\frac{1}{x}=a \\  & y+\frac{1}{y}=b \\ \end{align} \right.\)  hệ phương trình lúc đó thành hệ phương trình đối xứng loại 1, ta có thể giải đơn giản bằng cách rút \(b\) theo \(a\)  từ phương trình (1) rồi thay vào phương trình (2)

Sau khi tìm ra \((a;b)\) ta quay lại tìm nghiệm \((x;y)\) rồi tính giá trị biểu thức \(A\) theo các giá trị  \((x;y)\) tìm được, giá trị nào nhỏ nhất là đáp án

Giải chi tiết:

Cách làm:

Điều kiện \(\left\{ \begin{align} & x\ne 0 \\  & y\ne 0 \\ \end{align} \right.\)

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5\\{x^2} + {y^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + \left( {y + \frac{1}{y}} \right) = 5\\{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{y}} \right)^2} = 13\end{array} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{align} & x+\frac{1}{x}=a \\  & y+\frac{1}{y}=b \\ \end{align} \right.\)  ta được hệ phương trình 

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 5\\{a^2} + {b^2} = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 - a\\{a^2} + {\left( {5 - a} \right)^2} = 13\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 - a\\{a^2} + {a^2} - 10a + 25 = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 - a\\{a^2} - 5a + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 - a\\(a - 2)(a - 3) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Nếu: 

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} = 2\\y + \frac{1}{y} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 2x\\{y^2} + 1 = 3y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow A = \frac{3}{{2 \pm \sqrt 5 }}\)

Nếu: 

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} = 3\\y + \frac{1}{y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 1 = 0\\{y^2} - 2y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow A = 4 \pm \sqrt 5 \)

Chọn C.