Cho \(a,b,c>0.\) Giả sử \(\frac{7}{a}+\frac{9}{...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}\).

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}\) với \(x=a,y=b\) ta nhận được

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\Leftrightarrow \frac{6}{a}+\frac{6}{b}\ge \frac{24}{a+b}\,\,\left( 1 \right).\)

Tương tự ta có  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge \frac{4}{a+c}=\frac{4}{c+a}\,\,\left( 2 \right),\)     \(\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\ge \frac{12}{b+c}\,\,\left( 3 \right).\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta nhận được \(\frac{7}{a}+\frac{9}{b}+\frac{4}{c}\ge 4\left( \frac{6}{a+b}+\frac{3}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right).\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c.\) Khi đó \(\frac{7}{a}+\frac{9}{b}+\frac{4}{c}=\frac{20}{a},\frac{6}{a+b}+\frac{3}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{10}{2a}=\frac{5}{a}.\)

Do đó \(\frac{7}{a}+\frac{9}{b}+\frac{4}{c}\ge A\left( \frac{6}{a+b}+\frac{3}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right).\) kéo theo \(\frac{20}{a}\ge \frac{5A}{a}\Leftrightarrow 4\ge A.\)

Kết hợp các điều trên với nhau ta nhận được giá trị lớn nhất của \(A\) là \(4.\)

Chọn đáp án D.