Cho đường tròn tâm O bán kính R và một đường thẳng...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({{180}^{0}}\) là tứ giác nội tiếp.

+) Dựa vào tứ giác nội tiếp được chứng minh ở câu trên và các tính chất của đường tròn để chứng minh các góc bằng nhau.

+)  Sử dụng các tính chất của tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau.

+) Từ đó chứng minh các cặp tam giác đồng dạng  sau đó tính các cạnh cần tính.

Giải chi tiết:

1)               Xét tứ giác OMHQ có \(\widehat{OQM}={{90}^{0}}\)(MQ là tiếp tuyến của (O))

                                     \(\widehat{OHM}={{90}^{0}}\) (OH ⊥ d)

Vậy tứ giác OMHQ nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp bằng nhau)

2) Ta có: \(\widehat{OMH}+\widehat{MOH}={{90}^{0}}\)(tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông OMH)

Ta có   OP = OQ = R, MP = MQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ OM là trung trực của PQ \(\Rightarrow OM\bot PQ\)

⇒ \(\widehat{OIP}+\widehat{MOH}={{90}^{0}}\) (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông OIK)

Vậy \(\widehat{OMH}=\widehat{OIP}\) (cùng phụ với \(\widehat{MOH}\))

3) Xét hai tam giác OIK và OMH có \(\widehat{OMH}=\widehat{OIP}\) (cmt), \(\widehat{OHM}=\widehat{OKI}={{90}^{0}}\)

Suy ra \(\Delta OIK\sim \Delta OMH\left( g.g \right)\)

\(\Rightarrow \frac{OI}{OM}=\frac{OK}{OH}\Rightarrow OI=\frac{OK.OM}{OH}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OQM có \({{R}^{2}}=O{{Q}^{2}}=OK.OM\)

\(\Rightarrow OI=\frac{{{R}^{2}}}{OH}\)

Vì d cố định nên OH không đổi, R luôn không đổi nên OI không đổi. Mà \(I\in OH\) cố định nên I cố định.

4) Xét tứ giác OPMQ có: \(\widehat{OPM}+\widehat{OQM}={{180}^{0}}\) ⇒ Tứ giác OPMQ nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({{180}^{0}}\)) ⇒ \(\widehat{OPI}=\widehat{OMQ}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OQ)

Mà \(\widehat{OMQ}=\widehat{OHQ}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung OQ của đường tròn nội tiếp tứ giác OQHM)

\(\Rightarrow \widehat{OIP}=\widehat{OHQ}\)

Xét tam giác IOP và IQH có: \(\widehat{OIP}=\widehat{HIQ}\)(đối đỉnh), \(\widehat{OIP}=\widehat{OHQ}\)(cmt)

\(\Rightarrow \Delta IOP\sim \Delta IQH\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{IO}{IQ}=\frac{IP}{IH}\Rightarrow IP.IQ=IH.IO\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\Delta OPQ\) cân tại O nên \(\widehat{OQI}=\widehat{OPI}\), mà \(\widehat{OPI}=\widehat{IHQ}\ \left( \Delta OIP\sim \Delta IQH \right).\)

 \(\Rightarrow \widehat{OQI}=\widehat{IHQ}\)

Xét tam giác OIQ và OQH có \(\widehat{IOQ}\)chung, \(\widehat{OQI}=\widehat{IHQ}\)(cmt)

\(\begin{align}  & \Rightarrow \Delta OIQ\sim \Delta OQH\Rightarrow \frac{OI}{OQ}=\frac{OQ}{OH}\Rightarrow OI.OH=O{{Q}^{2}}={{R}^{2}} \\  & \Rightarrow OI\left( OI+IH \right)={{R}^{2}}\Rightarrow O{{I}^{2}}+IO.IH={{R}^{2}}\Rightarrow IO.IH={{R}^{2}}-O{{I}^{2}}\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(IP.IQ={{R}^{2}}-O{{I}^{2}}\)

\(\begin{align}  & OH=R\sqrt{2}\Rightarrow OI=\frac{{{R}^{2}}}{OH}=\frac{{{R}^{2}}}{R\sqrt{2}}=\frac{R}{\sqrt{2}} \\  & \Rightarrow IP.IQ={{R}^{2}}-\frac{{{R}^{2}}}{2}=\frac{{{R}^{2}}}{2} \\ \end{align}\)