Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tr...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp để chứng minh.

+) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng. Suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

+) Sử dụng các tính chất góc nội tiếp, tam giác cân…. suy ra các góc bằng nhau cần chứng minh.

Giải chi tiết:

1.  Xét tứ giác ABEK có $\widehat{AEB}=\widehat{AKB}={{90}^{0}}$ ⇒ tứ giác ABEK nội tiếp đường tròn đường kính AB.

2. Vì tứ giác ABEK nội tiếp nên $\widehat{ABC}=\widehat{EKC}$ (cùng bù với $\widehat{AKE}$)

Xét tam giác CAB và CEK có $\widehat{ACB}$ chung, $\widehat{ABC}=\widehat{EKC}$(cmt)

$\Rightarrow \Delta CAB\sim \Delta CEK\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{CA}{CE}=\frac{CB}{CK}$ (các cạnh tương ứng)

$\Rightarrow CE.CB=CK.CA$

3. Kẻ OD ⊥ Ac tại D

Ta có $\widehat{ABC}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}$(góc nội tiếp và góc ở tam cùng chắn cung AC)

$\Delta OAC$ cân tại O nên đường cao OD đồng thời là phân giác

$\Rightarrow \widehat{AOD}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}$

Suy ra $\widehat{AOD}=\widehat{ABC}$

Xét tam giác ABE và ADO có $\widehat{AEB}=\widehat{ADO}={{90}^{0}}$ , $\widehat{AOD}=\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \Delta ABE\sim \Delta ADO\left( g.g \right)\Rightarrow \widehat{BAE}=\widehat{OAD}$

Mà $\widehat{OAD}=\widehat{OCA}$(tam giác OAC cân tại O)

$\Rightarrow \widehat{OCA}=\widehat{BAE}$

4. Ta có $\widehat{HBC}=\widehat{FAC}$ (cùng phụ với $\widehat{AHK}$)

Mà $\widehat{FAC}=\widehat{FBC}$(2 góc nội tiếp cùng chắn cung FC)

Suy ra$\widehat{HBC}=\widehat{FBC}$.

Do đó tam giác BHF cân tại B (đường cao đồng thời là phân giác) nên BE là trung trực của HF.

Tương tự ta chứng minh được CE là trung trực của HF

⇒ BC là trung trực của HF hay H và F đối xứng nhau qua BC

⇒ Khi A chạy trên đường tròn sao cho tam giác ABC luôn là tam giác nhọn thì F chạy trên cung nhỏ BC

Mà H đối xứng F qua BC nên H chạy trên một cung tròn đối xứng với cung nhỏ BC của đường tròn (O) qua BC. Đường tròn đó có tâm I đối xứng O qua BC.

Suy ra $r=R=3\,cm$