Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tr...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp để chứng minh.

+) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng. Suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

+) Sử dụng các tính chất góc nội tiếp, tam giác cân…. suy ra các góc bằng nhau cần chứng minh.

Giải chi tiết:

1.  Xét tứ giác ABEK có \(\widehat{AEB}=\widehat{AKB}={{90}^{0}}\) ⇒ tứ giác ABEK nội tiếp đường tròn đường kính AB.

2. Vì tứ giác ABEK nội tiếp nên \(\widehat{ABC}=\widehat{EKC}\) (cùng bù với \(\widehat{AKE}\))

Xét tam giác CAB và CEK có \(\widehat{ACB}\) chung, \(\widehat{ABC}=\widehat{EKC}\)(cmt)

\(\Rightarrow \Delta CAB\sim \Delta CEK\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{CA}{CE}=\frac{CB}{CK}\) (các cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow CE.CB=CK.CA\)

3. Kẻ OD ⊥ Ac tại D

Ta có \(\widehat{ABC}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}\)(góc nội tiếp và góc ở tam cùng chắn cung AC)

\(\Delta OAC\) cân tại O nên đường cao OD đồng thời là phân giác

\(\Rightarrow \widehat{AOD}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}\)

Suy ra \(\widehat{AOD}=\widehat{ABC}\)

Xét tam giác ABE và ADO có \(\widehat{AEB}=\widehat{ADO}={{90}^{0}}\) , \(\widehat{AOD}=\widehat{ABC}\)

\(\Rightarrow \Delta ABE\sim \Delta ADO\left( g.g \right)\Rightarrow \widehat{BAE}=\widehat{OAD}\)

Mà \(\widehat{OAD}=\widehat{OCA}\)(tam giác OAC cân tại O)

\(\Rightarrow \widehat{OCA}=\widehat{BAE}\)

4. Ta có \(\widehat{HBC}=\widehat{FAC}\) (cùng phụ với \(\widehat{AHK}\))

Mà \(\widehat{FAC}=\widehat{FBC}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung FC)

Suy ra\(\widehat{HBC}=\widehat{FBC}\).

Do đó tam giác BHF cân tại B (đường cao đồng thời là phân giác) nên BE là trung trực của HF.

Tương tự ta chứng minh được CE là trung trực của HF

⇒ BC là trung trực của HF hay H và F đối xứng nhau qua BC

⇒ Khi A chạy trên đường tròn sao cho tam giác ABC luôn là tam giác nhọn thì F chạy trên cung nhỏ BC

Mà H đối xứng F qua BC nên H chạy trên một cung tròn đối xứng với cung nhỏ BC của đường tròn (O) qua BC. Đường tròn đó có tâm I đối xứng O qua BC.

Suy ra \(r=R=3\,cm\)