Cho phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) (có ẩn...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a/ Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  \ge 0\)

b/ Sử dụng hệ thức Vi-ét biến đổi biểu thức B theo \(m.\) Từ đó giải phương trình \(B = 1\) để tìm \(m.\)

Giải chi tiết:

a/ Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x₁, x₂ với mọi m.

\({x^2} - mx + m - 1 = 0\)      (1)

Ta có: \(\Delta  = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2}\)

Lại có: \({\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\) với \(\forall m \Rightarrow \Delta  \ge 0\)  với \(\forall m\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x₁, x₂ với mọi m.

b/ Cho biểu thức \(B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {1 + {x_1}{x_2}} \right)}}\). Tìm giá trị của m để B = 1.

Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1)

\( \Rightarrow \) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} = m\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = m - 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {1 + {x_1}{x_2}} \right)}} = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} + 2\left( {1 + {x_1}{x_2}} \right)}}\,\,\\\,\,\,\, = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} + 2}} = \frac{{2\left( {m - 1} \right) + 3}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}}.\\ \Rightarrow B = 1 \Leftrightarrow \frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}} = 1 \Leftrightarrow {m^2} + 2 = 2m + 1\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow m = 1.\end{array}\)

 Vậy với \(m = 1\) thỏa mãn điều kiện đề bài.

Chọn B.