Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Xác định được rằng bán kính mặt cầu chnsh là khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\)

+ Tìm hình chiếu \(I\) của \(B\) trên \(\left( {SAC} \right)\)

+ Tính \(BI\) dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\BC \subset \left( {ABC} \right),\;BC \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot SA\) .
Gọi \(BH\) là đường cao của tam giác \(ABC\)\( \Rightarrow BH \bot SA\)\( \Rightarrow SA \bot \left( {BCH} \right)\) \( \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {BCH} \right)\).
\(\left( {SAC} \right) \cap \left( {BCH} \right) = CH\).
Kẻ \(BI \bot CH\) \(\left( {I \in CH} \right)\) \( \Rightarrow BI \bot \left( {SAC} \right)\) \( \Rightarrow r = BI\).
\(\Delta SHB\) vuông tại \(H\) \( \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{SB}} = \sin {60^0} \Leftrightarrow \dfrac{{BH}}{a} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow BH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\(\Delta BHC\) vuông tại \(B\), đường cao \(BI\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{B{I^2}}} = \dfrac{1}{{B{H^2}}} + \dfrac{1}{{B{C^2}}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{B{I^2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{3{a^2}}}{4}}} + \dfrac{1}{{4{a^2}}} = \dfrac{{19}}{{12{a^2}}}\)
\( \Rightarrow BI = a\sqrt {\dfrac{{12}}{{19}}} \) \( = 2a\sqrt {\dfrac{3}{{19}}} \) . Vậy \(r = 2a\sqrt {\dfrac{3}{{19}}} \).
Chọn B.