Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đường tròn: ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ là đường tròn tâm $I\left( {a;\;b} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} .$

Giải chi tiết:

Theo đề bài ta có: $\left( 1 \right)$ là phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {2;\; - 4} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{2^2} + {4^2} + 5}  = \sqrt {25}  = 5.$

$\left( 2 \right)$ là phương trình đường thẳng $\left( d \right):\;\;mx + \left( {2 - m} \right)y + m = 0.$

Khi đó ta có nghiệm của hệ phương trình là tọa độ giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ và đường tròn $\left( C \right).$ 

Gọi tọa độ giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ và đường tròn $\left( C \right)$  là $A\left( {{x_1};\;{y_1}} \right)$ và $B\left( {{x_2};\;y{ _2}} \right).$ Ta có:

$P = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} - {y_2}} \right)^2} = A{B^2}.$

Vì $AB$ là một dây cung của đường tròn $\left( C \right) \Rightarrow AB \le 2R \Leftrightarrow A{B^2} \le 4{R^2} = 100.$

$\Rightarrow P$ đạt giá trị lớn nhất khi $AB$ là một đường kính của $\left( C \right).$

Hay $\left( d \right)$ đi qua $I\left( {2;\; - 4} \right) \Rightarrow m.2 + \left( {2 - m} \right).\left( { - 4} \right) + m = 0 \Leftrightarrow 2m - 8 + 4m + m = 0 \Leftrightarrow 7m = 8 \Leftrightarrow m = \frac{8}{7}.$

Chọn B.