1) Cho phương trình \({{x}^{2}}-2mx+2m-1=0\) (...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) a) Thay giá trị \(m=2\) vào phương trình (1) sau đó giải phương trình bậc hai một ẩn.
b) Tìm điều kiện để phương trình đã cho có hai nghiệm \({{x}_{1}},\ \ {{x}_{2}}.\) 
+) Áp dụng hệ thức Vi-ét và điều kiện bài cho để tìm m.
2) Giải bài toàn bằng cách lập phương trình:
+) Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
+) Biểu diễn các đại lượng chữa biết theo ẩn và đại lượng đã biết.
+) Dựa vào giả thiết của bài toán để lập phương trình.
+) Giải phương trình tìm ẩn và đối chiếu với điều kiện của ẩn rồi kết luận.

Giải chi tiết:

1) Cho phương trình \({{x}^{2}}-2mx+2m-1=0\) (m là tham số) (1)
a) Giải phương trình (1) với \(m=2.\)
Thay \(m=2\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 3x - x + 3 = 0\\
\Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 0\\
x - 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 3
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy với \(m=2\) thì phương trình có tập nghiệm \(S=\left\{ 1;\ 3 \right\}.\)
b) Tìm \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm \({{x}_{1}},\ {{x}_{2}}\) sao cho: \(\left( x_{1}^{2}-2m{{x}_{1}}+3 \right)\left( x_{2}^{2}-2m{{x}_{2}}-2 \right)=50.\)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta '\ge 0\)
\(\begin{align}
& \Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m+1\ge 0 \\
& \Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}\ge 0 \\
\end{align}\)
Vì \({{\left( m-1 \right)}^{2}}\ge 0\ \ \forall m\) nên phương trình (1) có hai nghiệm \({{x}_{1}},\ \ {{x}_{2}}.\)
Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{align}& x_{1}^{2}-2m{{x}_{1}}+2m-1=0 \\ & x_{1}^{2}-2m{{x}_{1}}+2m-1=0 \\ \end{align} \right..\)
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m-1 \\ \end{align} \right..\)
Theo đề bài ta có: \(\left( x_{1}^{2}-2m{{x}_{1}}+3 \right)\left( x_{2}^{2}-2m{{x}_{2}}-2 \right)=50\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1 - 2m + 4} \right)\left( {x_2^2 - 2m{x_2} + 2m - 1 - 2m - 1} \right) = 50\\
\Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right)\left( { - 2m - 1} \right) = 50\\
\Leftrightarrow \left( {2m - 4} \right)\left( {2m + 1} \right) = 50\\
\Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {2m + 1} \right) = 25\\
\Leftrightarrow 2{m^2} + m - 4m - 2 = 25\\
\Leftrightarrow 2{m^2} - 3m - 27 = 0\\
\Leftrightarrow 2{m^2} - 9m + 6m - 27 = 0\\
\Leftrightarrow m\left( {2m - 9} \right) + 3\left( {2m - 9} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {2m - 9} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2m - 9 = 0\\
m + 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \frac{9}{2}\;\;\left( {tm} \right)\\
m = - 3\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy \(m=\frac{9}{2}\) và \(m=-3\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

2) Quãng đường AB dài 50 km. Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A đến B. Vận tốc xe thứ nhất lớn hơn vận tốc xe thứ hai 10 km/h, nên xe thứ nhất đến B trước xe thứ hai 15 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là \(x\ \left( km/h \right)\ \ \left( x>10 \right).\)
\(\Rightarrow \) Vận tốc của xe thứ hai là: \(x-10\ \ \left( km/h \right).\)
Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B là \(\frac{50}{x}\,\,\left( h \right)\) ;
Thời gian xe thứ hai đi từ A đến B là: \(\frac{50}{x-10}\ \ \left( h \right).\)
Vì xe thứ nhất đến B trước xe thứ hai 15 phút = \(\frac{1}{4}h\) nên ta có phương trình: \(\frac{50}{x-10}-\frac{50}{x}=\frac{1}{4}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 4.50.x - 4.50\left( {x - 10} \right) = x\left( {x - 10} \right)\\
\Leftrightarrow 200x - 200x + 2000 = {x^2} - 10x\\
\Leftrightarrow {x^2} - 10x - 2000 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 50x + 40x - 2000 = 0\\
\Leftrightarrow x\left( {x - 50} \right) + 40\left( {x - 50} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 50} \right)\left( {x + 40} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 50 = 0\\
x + 40 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 50\;\;\left( {tm} \right)\\
x = - 40\;\;\left( {ktm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là \(50\ km/h\) và vận tốc xe thứ hai là \(50-10=40\ km/h.\)

Chọn D