Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức lượng của tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\ \) và định lý Pi-ta-go để tính các đoạn thẳng cần tính.

Giải chi tiết:

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\ \left( H\in BC \right).\) Biết \(AB=3a,\ \ AH=\frac{12}{5}a.\) Tính theo \(a\) độ dài \(AC\) và \(BC.\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(B{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}-A{{H}^{2}}=9{{a}^{2}}-{{\left( \frac{12}{5}a \right)}^{2}}=\frac{81{{a}^{2}}}{25}\Rightarrow BH=\frac{9a}{5}.\)

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với đường cao \(AH\ \) ta có:

\(\begin{align}  & A{{H}^{2}}=BH.HC\Leftrightarrow HC=\frac{A{{H}^{2}}}{HB}={{\left( \frac{12}{5}a \right)}^{2}}:\frac{9a}{5}=\frac{16a}{5}. \\  & \Rightarrow BC=BH+HC=\frac{9a}{5}+\frac{16a}{5}=5a. \\ \end{align}\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}={{\left( 5a \right)}^{2}}-{{\left( 3a \right)}^{2}}={{\left( 4a \right)}^{2}}\Rightarrow AC=4a.\)

Vậy \(AC=4a,\ \ BC=5a.\)

Chọn C