Cho đường tròn \(\left( O \right...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tổng hai góc đối bằng \({{180}^{0}}\) . Chứng minh CM song song với 1 đường thẳng vuông góc với AB.

2) Sử dụng tính chất phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác CIK để chứng minh

Giải chi tiết:

1) Chứng minh tứ giác BDEI là tứ giác nội tiếp và \(CM\bot AB\)

Ta có \(\angle ADB={{90}^{0}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow \angle EDB={{90}^{0}}\)

Xét tứ giác \(BDEI\) có \(\angle EDB+\angle EIB={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \) Tứ giác BDEI là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

\(\Rightarrow \angle EID=\angle EBD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DE).

Mà \(\angle EBD=\angle CBD=\angle CMD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD của đường tròn \(\left( O \right)\()

\(\Rightarrow \angle EID=\angle CMD\)  Mà hai góc này ở vị trí đồng vị \(\Rightarrow EI//CM\)

Mà \(EI\bot AB\,\,\left( gt \right)\Rightarrow CM\bot AB\)

2) Gọi K là giao điểm của BC và DM. Chứng minh \(BK.CE=BC.EK\)

Xét tứ giác ACEI có \(\angle ACE={{90}^{0}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\angle ACE+\angle CIE={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \) Tứ giác ACEI là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

\(\Rightarrow \angle CIE=\angle CAE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE)

Tứ giác BDEI là tứ giác nội tiếp (cmt) \(\Rightarrow \angle DIE=\angle DBE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DE)

Mà \(\angle CAE=\angle DBE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD của đường tròn (O))

\(\Rightarrow \angle CIE=\angle DIE=\angle KIE\Rightarrow IE\) là phân giác trong của \(\angle CIK\)  

Mà \(IE\bot IB\) nên IB là phân giác ngoài của \(\angle CIK\)

Áp dụng tính chất tia phân giác ta có :

\(\frac{EC}{EK}=\frac{BC}{BK}=\frac{IC}{IK}\Rightarrow BK.CE=BC.EK\,\,\left( dpcm \right)\)