Cho \(a>0,\,\,b>0\) và \(a+b\le 1.\) Tìm giá...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết:

Cho \(a>0,\,\,b>0\) và \(a+b\le 1\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}+\frac{1}{a+b}\)

Với \(a,\ b>0,\) áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(\begin{align}  & \frac{{{a}^{2}}}{a+ab}+\frac{4}{9}\left( a+ab \right)\ge 2\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{a+ab}.\frac{4}{9}\left( a+ab \right)}=\frac{4}{3}a \\ & \Rightarrow \frac{{{a}^{2}}}{a+ab}\ge \frac{4}{3}a-\frac{4}{9}\left( a+ab \right) \\ & \Rightarrow \frac{a}{1+b}\ge \frac{8}{9}a-\frac{4}{9}ab. \\\end{align}\)

Tương tự ta có: \(\frac{1}{b+a}\ge \frac{8}{9}a-\frac{4}{9}ab.\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow S=\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}+\frac{1}{a+b}\ge \frac{8}{9}\left( a+b \right)-\frac{8}{9}ab+\frac{1}{a+b} \\ & \Leftrightarrow S\ge \frac{8}{9}\left( a+b+\frac{1}{a+b} \right)-\frac{8}{9}ab+\frac{1}{9}.\frac{1}{a+b}. \\\end{align}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(\left( a+b \right)+\frac{1}{a+b}\ge 2\sqrt{\left( a+b \right).\frac{1}{a+b}}=2.\)

Vì \(a+b\le 1\) nên ta có: \({{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab\Rightarrow ab\le \frac{1}{{{\left( a+b \right)}^{2}}}\le \frac{1}{4}\) và \(\frac{1}{a+b}\ge 1.\)

\(\Rightarrow S\ge \frac{8}{9}.2-\frac{8}{9}.\frac{1}{4}+\frac{1}{9}=\frac{5}{3}.\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}.\)

Vậy \(Min\ S=\frac{5}{3}\ \ khi\ \ a=b=\frac{1}{2}.\)  

Chọn A