Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Trên cạnh BC...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác APMQ có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Chứng minh OH là trung trực của PQ.

c) Dựa vào diện tích tam giác: \({S_{\Delta MAB}} + {S_{\Delta MAC}} = {S_{\Delta ABC}}\)

Giải chi tiết:

Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm M tùy ý (M không trùng với B, C, H). Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc vủa M lên AB và AC.

a) Chứng minh tứ giác APMQ nội tiếp được trong đường tròn và xác định tâm O của đường tròn này.

Xét tứ giác APMQ có: \(\angle APM = \angle AQM = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle APM + \angle AQM = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM.

Gọi O là trung điểm của AM \( \Rightarrow \) tứ giác APMQ nội tiếp được trong đường tròn tâm O đường kính AM.

b) Chứng minh \(OH \bot PQ\).

Ta có \(\angle AHM = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AHM\) nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AM \( \Rightarrow \) H thuộc đường tròn \(\left( O \right)\).

Ta có \(\angle HPQ = \angle HAC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HQ)

         \(\angle HQP = \angle HAB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HP).

Mà \(\angle HAC = \angle HAB\) (tam giác ABC đều nên đường cao AH đồng thời là đường phân giác)

\( \Rightarrow \angle HPQ = \angle HQP \Rightarrow \Delta HPQ\) cân tại H \( \Rightarrow HP = HQ\,\,\left( 1 \right)\).

Mà \(OP = OQ\) (do P, Q đều thuộc \(\left( O \right)\))  (2).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow OH\) là trung trực của PQ.

\( \Rightarrow OH \bot PQ\).

c) Chứng minh \(MP + MQ = AH\).

Ta có

\(\begin{array}{l}{S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}MP.AB = \frac{1}{2}MP.BC\,\,\left( {Do\,\,AB = BC} \right)\\{S_{\Delta MAC}} = \frac{1}{2}MQ.AC = \frac{1}{2}MQ.BC\,\,\left( {Do\,\,AC = BC} \right)\\{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC\end{array}\)

Mà \({S_{\Delta MAB}} + {S_{\Delta MAC}} = {S_{\Delta ABC}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2}MP.BC + \frac{1}{2}MQ.BC = \frac{1}{2}AH.BC\\ \Rightarrow \frac{1}{2}BC\left( {MP + MQ} \right) = \frac{1}{2}AH.BC\\ \Rightarrow MP + MQ = AH\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)