Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Trên cạnh BC...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác APMQ có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Chứng minh OH là trung trực của PQ.

c) Dựa vào diện tích tam giác: ${S_{\Delta MAB}} + {S_{\Delta MAC}} = {S_{\Delta ABC}}$

Giải chi tiết:

Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm M tùy ý (M không trùng với B, C, H). Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc vủa M lên AB và AC.

a) Chứng minh tứ giác APMQ nội tiếp được trong đường tròn và xác định tâm O của đường tròn này.

Xét tứ giác APMQ có: $\angle APM = \angle AQM = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle APM + \angle AQM = {180^0} \Rightarrow$ Tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM.

Gọi O là trung điểm của AM $\Rightarrow$ tứ giác APMQ nội tiếp được trong đường tròn tâm O đường kính AM.

b) Chứng minh $OH \bot PQ$.

Ta có $\angle AHM = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AHM$ nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AM $\Rightarrow$ H thuộc đường tròn $\left( O \right)$.

Ta có $\angle HPQ = \angle HAC$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HQ)

         $\angle HQP = \angle HAB$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HP).

Mà $\angle HAC = \angle HAB$ (tam giác ABC đều nên đường cao AH đồng thời là đường phân giác)

$\Rightarrow \angle HPQ = \angle HQP \Rightarrow \Delta HPQ$ cân tại H $\Rightarrow HP = HQ\,\,\left( 1 \right)$.

Mà $OP = OQ$ (do P, Q đều thuộc $\left( O \right)$)  (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow OH$ là trung trực của PQ.

$\Rightarrow OH \bot PQ$.

c) Chứng minh $MP + MQ = AH$.

Ta có

$\begin{array}{l}{S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}MP.AB = \frac{1}{2}MP.BC\,\,\left( {Do\,\,AB = BC} \right)\\{S_{\Delta MAC}} = \frac{1}{2}MQ.AC = \frac{1}{2}MQ.BC\,\,\left( {Do\,\,AC = BC} \right)\\{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC\end{array}$

Mà ${S_{\Delta MAB}} + {S_{\Delta MAC}} = {S_{\Delta ABC}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2}MP.BC + \frac{1}{2}MQ.BC = \frac{1}{2}AH.BC\\ \Rightarrow \frac{1}{2}BC\left( {MP + MQ} \right) = \frac{1}{2}AH.BC\\ \Rightarrow MP + MQ = AH\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}$