Cho phương trình: \({x^2} + ax + b = 0\) với \(x\)...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm sau đó áp dụng hệ thức Vi-et để làm tìm \(a,b.\)

Giải chi tiết:

Để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2}\) thì \(\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} - 4b \ge 0.\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có :  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - a\;\;\;\;\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = b\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có :

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {x_2} = 5\\x_1^3 - x_2^3 = 35\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {x_2} = 5\\\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right] = 35\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {x_2} = 5\\5\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right] = 35\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {x_2} = 5\;\;\;\;\;\;\left( 3 \right)\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} = 7\;\;\;\left( 4 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Thế \(\left( 1 \right),\;\;\left( 2 \right)\) vào \(\left( 4 \right)\)  ta được : \({\left( { - a} \right)^2} - b = 7 \Leftrightarrow {a^2} - b = 7 \Leftrightarrow b = {a^2} - 7\;\;\;\left( * \right)\)

Bình phương hai vế của \(\left( 3 \right)\) ta được :

\(\begin{array}{l}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {5^2} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 25 \Leftrightarrow {a^2} - 4b = 25\\ \Leftrightarrow {a^2} - 4{a^2} + 28 = 25 \Leftrightarrow {a^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1 \Rightarrow b =  - 6\\a =  - 1 \Rightarrow  - 6\end{array} \right..\end{array}\)

Thử lại ta thấy : \({a^2} - 4b = 1 + 4.6 = 25 > 0 \Rightarrow a =  \pm 1,\;\;b =  - 6\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy \(\left( {a;\;b} \right) = \left\{ {\left( {1; - 6} \right),\;\left( { - 1; - 6} \right)} \right\}.\)

Chọn D.