Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: \(a + b +...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng BĐT Cô Si và BĐT quen thuộc : \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \ge \dfrac{9}{{x + y + z}}\)

Giải chi tiết:

Ta có :

Áp dụng BĐT Cô Si và BĐT quen thuộc : \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \ge \dfrac{9}{{x + y + z}}\)

\(\begin{array}{l}M = \dfrac{{{a^2} + 4a + 1}}{{{a^2} + a}} + \dfrac{{{b^2} + 4b + 1}}{{{b^2} + b}} + \dfrac{{{c^2} + 4c + 1}}{{{c^2} + c}}\\ = \dfrac{{\left( {{a^2} + 1} \right) + 4a}}{{a\left( {a + 1} \right)}} + \dfrac{{\left( {{b^2} + 1} \right) + 4b}}{{b\left( {b + 1} \right)}} + \dfrac{{\left( {{c^2} + 1} \right) + 4c}}{{c\left( {c + 1} \right)}}\\\mathop  \ge \limits^{Co - si} \dfrac{{2a + 4a}}{{a\left( {a + 1} \right)}} + \dfrac{{2b + 4b}}{{b\left( {b + 1} \right)}} + \dfrac{{2c + 4c}}{{c\left( {c + 1} \right)}}\\ = 6\left( {\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}}} \right) \ge \dfrac{{6.9}}{{a + b + c + 3}} \ge \dfrac{{54}}{6} = 9.\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 9, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1\).