1)      Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y)

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

  Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: \(\left( {x + y} \right){\left( {3x + 2y} \right)^2} = 2x + y - 1\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}z = x + y\\t = 3x + 2y\end{array} \right.\,\left( {z,t \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow 2x + y = t - z\), phương trình đã cho trở thành

\(z{t^2} = t - z - 1 \Leftrightarrow z{t^2} - t + z + 1 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn t, nó có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\Delta  = 1 - 4z\left( {z + 1} \right) =  - 4{z^2} - 4z + 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2 - {\left( {2z + 1} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2z + 1} \right)^2} \le 2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2z + 1 = 0\\2z + 1 =  \pm 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z =  - \frac{1}{2}{\rm{ }}\left( {ktm} \right)\\z = 0\;\left( {tm} \right)\\z =  - 1\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

(do z ∈ ℤ)

Với z = 0, (2) trở thành \( - t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\3x + 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 1\end{array} \right.\)

Với z = –1, (2) trở thành \( - {t^2} - t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y =  - 1\\3x + 2y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y =  - 1\\3x + 2y =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm nguyên (x;y) là (1;–1), (2;–3), (1;–2)

     Với a, b là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt {a + 2b}  = 2 + \sqrt {\frac{b}{3}} ,\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(M = \frac{a}{{\sqrt {a + 2b} }} + \frac{b}{{\sqrt {b + 2a} }}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt {a + 2b} \\y = \sqrt {3b} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = a + 2b\\{y^2} = 3b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{3{x^2} - 2{y^2}}}{3}\\b = \frac{{{y^2}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow b + 2a = 2{x^2} - {y^2}\) \((x, y > 0)\)

Ta có  \(\sqrt {a + 2b}  = 2 + \sqrt {\frac{b}{3}}  \Leftrightarrow 3\sqrt {a + 2b}  = 6 + \sqrt {3b}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 6 + y\\x > 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 6 = y\\x > 2\end{array} \right.\)

\(M = \frac{{3{x^2} - 2{y^3}}}{{3x}} + \frac{{{y^2}}}{{3\sqrt {2{x^2} - {y^2}} }}\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương: \(y\sqrt {2{x^2} - {y^2}}  \le \frac{{{y^2} + \left( {2{x^2} - {y^2}} \right)}}{2} = {x^2}\)

\( \Rightarrow M = \frac{{3{x^2} - 2{y^2}}}{{3x}} + \frac{{{y^3}}}{{3y\sqrt {2{x^2} - {y^2}} }} \ge \frac{{3{x^2} - 2{y^2}}}{{3x}} + \frac{{{y^3}}}{{3{x^2}}} = \frac{{3{x^3} - 2x{y^2} + {y^3}}}{{3{x^2}}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{3{x^3} - 2x{{\left( {3x - 6} \right)}^2} + {{\left( {3x - 6} \right)}^3}}}{{3{x^2}}}\\ = \frac{{3{x^3} - 2x\left( {9{x^2} - 36x + 36} \right) + 27{x^3} - 3.{{\left( {3x} \right)}^2}.6 + 3.3x{{.6}^2} - {6^3}}}{{3{x^2}}}\\ = \frac{{12{x^3} - 90{x^2} + 252x - 216}}{{3{x^2}}}\\ = \frac{{4{x^3} - 30{x^2} + 84x - 72}}{{{x^2}}}\\ = \frac{{4{{\left( {x - 3} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}}{{{x^2}}} + 2 \ge 2\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {a + 2b}  = 3\\\sqrt {3b}  = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 3\) (thỏa mãn)

Vậy GTNN của biểu thức M là 2, đạt được khi a = b = 3