Tìm tất cả các số thực m sao cho hàm số \...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{\sqrt {2x + 5}  - 3}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{2x + 5 - 9}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {2x + 5}  + 3} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{2x - 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {2x + 5}  + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{2}{{\sqrt {2x + 5}  + 3}} = \dfrac{1}{3}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - m} \right) = 2 - m = f\left( 2 \right)\end{array}\)

Để hàm số liên tục tại \(x = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\).

\( \Leftrightarrow 2 - m = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{3}\).

Vậy \(m = \dfrac{5}{3}\).