1. Cho hình bình hành \(ABC{\rm{D}}\) , điểm \(E\)...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. Sử dụng các tính chất của hình bình hành và công thức tính diện tích tam giác để làm bài toán.

2. Áp dụng hằng đẳng thức và tính chất của bất đẳng thức.

Giải chi tiết:

1. Kẻ \(IK \bot AB;\;\;BH \bot CD\) như hình vẽ. Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_1} = {S_{ABM}} = \frac{1}{2}MI.AB\\{S_2} = {S_{MDE}} = \frac{1}{2}MK.DE\\{S_3} = {S_{BEC}} = \frac{1}{2}BH.EC\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_2} + {S_3} = \frac{1}{2}MK.DE + \frac{1}{2}BH.EC\\ = \frac{1}{2}\left[ {MK.DE + \left( {MI + MK} \right).EC} \right]\\ = \frac{1}{2}\left( {MK.DE + MK.EC + MI.EC} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {MK.DC + MI.EC} \right)\end{array}\)

2. Ta có: \({x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow 0 \le {x^2} \le 1 \Rightarrow  - 1 \le x \le 1 \Rightarrow {x^4} \le {x^2}\)

- TH1: Nếu \(x \ge 0 \Rightarrow 0 \le x \le 1 \Rightarrow {x^5} \le {x^2}\)

- TH2: Nếu \(x < 0 \Rightarrow {x^5} < {x^2}\)

Khi \(x < 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^5} < 0\\{x^2} > 0\end{array} \right. \Rightarrow {x^5} < {x^2}\)

Do đó \({x^5} \le {x^2}\,\;khi\;\,x \in \left( { - 1;\,1} \right)\) (1)

Ta có: \({\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {y^2} - 2y + 1 \ge 0 \Rightarrow {y^2} + 1 \ge 2y\) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:

\(\begin{array}{l}{x^5} + 2y \le {x^2} + {y^2} + 1\\ \Leftrightarrow {x^5} + 2y \le 2\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1 \Rightarrow x = 0.\)

Vậy \(Max\,\left( {{x^5} + 2y} \right) = 2\;\;\,khi\;\;\,\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\) .

Chọn D.