Chứng minh rằng với mọi \(m \ne  - 1\) hệ phương t...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm nghiệm của hệ theo m  để chứng minh hệ có nghiệm duy nhất từ đó biến đổi Q về phương trình bậc 2 để tìm giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết:

Với \(m \ne  - 1\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = {m^2} + 3\\x - y =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx + x + 4 = {m^2} + 3\\y = x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 1} \right)x = {m^2} - 1\\y = x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m - 1\\y = m + 3\end{array} \right.\)

Vậy với mọi \(m \ne  - 1\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right) = \left( {m - 1;m + 3} \right)\)

\(Q = {x^2} - 2y + 10 = {x^2} - 2\left( {x + 4} \right) + 10 = {x^2} - 2x + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 1 \ge 1\) với mọi x

Dấu ‘=’ xảy ra \( \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Leftrightarrow m - 1 = 1 \Leftrightarrow m = 2.\)

Vậy \(\min Q = 1\) đạt được khi \(m = 2.\) 

Chọn A.