Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ta...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Gọi \(M\left( {a;b} \right)\), từ giả thiết \(\overrightarrow {BM}  = k\overrightarrow {BC} \) tìm tọa độ điểm M theo 1 ẩn.

Tam giác ACM cân tại \(M \Leftrightarrow MA = MC \Leftrightarrow M{A^2} = M{C^2}\).

b) Sử dụng công thức \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AD} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} }}{{AB.AD}}\).

Giải chi tiết:

a) Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) ta có: \(\overrightarrow {BM}  = \left( {a;b - 4} \right);\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( { - 4; - 2} \right)\)

\(\overrightarrow {BM}  = k\overrightarrow {BC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 4k\\b - 4 =  - 2k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 4k\\b =  - 2k + 4\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 4k; - 2k + 4} \right)\)

Để tam giác ACM cân tại M thì \(MA = MC \Leftrightarrow M{A^2} = M{C^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - 4k - 1} \right)^2} + {\left( { - 2k + 3} \right)^2} = {\left( { - 4k + 4} \right)^2} + {\left( { - 2k + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 8k + 1 - 12k + 9 =  - 32k + 16 - 8k + 4\\ \Leftrightarrow 36k = 10 \Leftrightarrow k = \dfrac{5}{{18}} \Rightarrow M\left( { - \dfrac{{10}}{9};\dfrac{{31}}{9}} \right)\end{array}\)

Vậy \(M\left( { - \dfrac{{10}}{9};\dfrac{{31}}{9}} \right)\).

b) Gọi \(D\left( {0;d} \right) \in Oy\). Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;3} \right);\,\,\overrightarrow {AD}  = \left( { - 1;d - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AD} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} }}{{AB.AD}} = \dfrac{{1 + 3d - 3}}{{\sqrt {10} \sqrt {1 + {{\left( {d - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{3d - 2}}{{\sqrt {10} \sqrt {{d^2} - 2d + 2} }}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{3d - 2}}{{\sqrt {10} \sqrt {{d^2} - 2d + 2} }} \Leftrightarrow \sqrt 5 \sqrt {{d^2} - 2d + 2}  = 3d - 2\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3d - 2 \ge 0\\5{d^2} - 10d + 10 = 9{d^2} - 12d + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d \ge \dfrac{2}{3}\\\left[ \begin{array}{l}d = \dfrac{3}{2}\,\\d =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow d = \dfrac{3}{2} \Rightarrow D\left( {0;\dfrac{3}{2}} \right)\end{array}\)

Vậy \(D\left( {0;\dfrac{3}{2}} \right)\).