Cho \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}};\,\,B...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Thay \(x = 9\) vào biểu thức A.

b) Quy đồng, rút gọn, sử dụng hằng đẳng thức.

c) Phân tích \(T = \frac{A}{B} = {C_1} + \frac{{{C_2}}}{B}\), với \({C_1};{C_2}\) là hằng số. Để T là số nguyên thì \(B\) phải là ước của \({C_2}\).

Giải chi tiết:

ĐKXĐ : \(x \ge 0;\,\,x \ne 4\)

a) Thay \(x = 9\) vào biểu thức A có :

                                    \(A = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt 9  - 2}} = \frac{3}{{3 - 2}} = 3\)

\(\begin{array}{l}b)\,\,T = A - B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{2}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{4\sqrt x }}{{x - 4}}\\\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right) - 2\left( {\sqrt x  - 2} \right) - 4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{x + 2\sqrt x  - 2\sqrt x  + 4 - 4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\\;\;\;\;\;\; = \frac{{x - 4\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\\;\;\;\;\;\; = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\\;\;\;\;\; = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}.\\c)\,\,T = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{\sqrt x  + 2 - 4}}{{\sqrt x  + 2}} = 1 - \frac{4}{{\sqrt x  + 2}}\end{array}\)

Để T nguyên \( \Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt x  + 2}} \in Z \Leftrightarrow \sqrt x  + 2\) là ước của 4, mà \(\sqrt x  + 2 \ge 2\) \( \Rightarrow \sqrt x  + 2 \in \left\{ {2;4} \right\}\)

Bảng giá trị :

Vậy \(x = 0\) thì T nguyên.

Chọn C