Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhận thấy AB là đoạn vuông góc chung, từ đó tìm mặt cầu cố định mà MN luôn tiếp xúc

Giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left( 1;\ 1;\ -3 \right);\ \overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;\ 1;\ 1 \right);\ \overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -4;\ 1;\ -1 \right).\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 2 + 1 - 3 = 0\\
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}} = - 4 + 1 + 3 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{u_1}} \\
\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{u_2}}
\end{array} \right..\)

\(\Rightarrow AB\) là đoạn vuông góc chung của \({{\Delta }_{1}}\) và \({{\Delta }_{2}}.\)

Lấy \(P\in {{\Delta }_{1}}\) sao cho \(AP=BN.\)

\(\Rightarrow \,\,\Delta \,IAP=\Delta \,IBN\ \ \left( cgv-gn \right)\Rightarrow \,\,IP=IN.\)

\(\Rightarrow \Delta \,IMP=\Delta \,IMN\ \left( c-c-c \right)\Rightarrow IH=IA=IB=\frac{1}{2}AB.\)

\(\Rightarrow \) Mặt cầu cố định tâm I bán kính \(R=\frac{1}{2}AB.\)

Có: \(\left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}\Rightarrow R=\frac{\sqrt{11}}{2}.\)

Chọn D